Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В

Врассмотренных случаях оба игрока действовали наилучшим для себя способом. Однако встречаются конфликтные ситуации, в которых одна из сторон действует неопределенно, она безразлична к выигрышу и не стремится воспользоваться промахами другой стороны. Такая игра возникает, когда у нас нет достаточной осведомленности об условиях данной операции (например, условия погоды, покупательский спрос на продукцию и т.д.). Игры такого типа, когда человек вынужден выбирать стратегию (принять решение)

вусловиях неопределенности, называют играми с «природой», состояние которой ему полностью не известно.

Под термином «природа» будем понимать комплекс внешних обстоятельств, при которых приходится принимать решения. Игры с «природой», т.е. когда одним из участников является человек (игрок С), а другим - «природа» (игрок П), называют также статистическими играми.

Вобщем виде постановка задачи теории статистических игр производится следующим образом. Пусть имеется m

возможных стратегий (линий поведения) - С1, С2, …, Сi,…, Сm ; условия обстановки – состояние «природы» нам точно не из-

вестно, однако о них можно сделать n предположений П1, П2, …, Пj,…Пn, которые являются как бы стратегиями «природы», результат игры – «выигрыш» аij - при каждом сочетании стратегий задан матрицей игры

180

Необходимо выбрать наилучшую стратегию поведения, которая по сравнению с другими наиболее выгодна.

Допустим, фирма должна определить уровень выпуска продукции и предоставления услуг на некоторый период времени, так, чтобы удовлетворить потребности клиентов. Точная величина спроса на продукцию и услуги неизвестна, но ожидается, что в зависимости от соотношения сил на рынке товаров, действий конкурентов и погодных условий спрос может принять одно из четырех возможных значений: 300, 400, 500 или 600 изделий. Маркетинговые исследования позволили определить возможные вероятности возникновения этих ситуаций, которые соответственно составили 0,2; 0,4; 0,3 и 0,1. Для каждого из возможных значений спроса существует наилучший уровень предложения с точки зрения возможных затрат и прибыли. Отклонение от этих уровней связано с риском и может привести к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса. В первом случае это связано с необходимостью хранения нереализованной продукции и потерями при реализации ее по сниженным ценам, а также с транспортными расходами по доставке ее в другие регионы, где она будет пользоваться спросом. Во втором случае это связано с дополнительными затратами по оперативному выпуску недостающей продукции, поскольку иначе это будет связано с риском потери клиентов. Допустим, затраты, связанные с производством продукции равны 400 ден. ед., цена реализации – 500 ден.ед. Уценка при отсутствии спроса уменьшает прибыль на 20%, а затраты на хранение – на 4%. Дополнительные затраты на организацию сверхурочных работ сократит прибыль на 8%. Данную ситуацию можно представить в виде матрицы игры

181

Из этой таблицы видно, что при обстановке П1 решение С1 в 5 раз лучше, чем С2. Необходимо выбрать наиболее выгодную стратегию. Наибольший выигрыш в 60 тыс. ден.ед. дает стратегия С4 при возникновении обстановки П4.

В теории статистических игр вводится специальный показатель, который называется риском. Риск показывает, насколько выгодна применяемая стратегия в данной конкретной обстановке с учетом ее неопределенности. Риск рассчитывается как разность между ожидаемым результатом действий при наличии точных данных об обстановке и результатом, который может быть достигнут, если эти данные точно не известны. Например, если точно известно, что будет иметь место обстановка П4, то лучшее решение – С4, обеспечивающее выигрыш в 60 тыс. ден.ед. Поскольку точно не известно, какую обстановку ожидать, то могла быть выбрана стратегия С1, дающая выигрыш в обстановке П4 всего 6 тыс. ден.ед. При этом потеря в величине выигрыша составит 60 – 6 = 54 тыс. ден.ед. Величины риска определяются из следующего выражения:

rij = max аij – аij = j – aij, i

182

где аij – размер «выигрыша» при выборе i–й стратегии при j–м состоянии «природы»; j - максимальный «выигрыш» для j–й обстановки; rij - величина риска при выборе i–й стратегии при j–й обстановке. Составим матрицу рисков

Матрица рисков дает возможность непосредственно оценить качество различных решений и установить, насколько полно реализуются в них существующие возможности достижения успеха при наличии риска. Например, основываясь на матрице игры, можно прийти к выводу, что решение С1 при обстановке П3 равноценно решению С3 при обстановке П2, поскольку выигрыш в обоих случаях равен 16 тыс. ден.ед. Однако риск при этом неодинаков и составляет соответственно 34 и 24 тыс. ден.ед.

Критерии выбора стратегии

Проведем анализ стратегий производства при неопределенной рыночной конъюнктуре. Для выбора наилучшей стратегии поведения на рынке товаров и услуг существуют различные критерии, среди которых можно назвать критерии: Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и максимакса. Нет никаких оснований считать априори один из критериев лучше, чем другие, однако вернее будет выбрать ту стратегию, которая будет предпочтительнее по нескольким критериям.

Критерий Байеса используется, если в результате исследований известны вероятности всех состояний «природы» (qj). При этом, если учтены все из n возможных состояний, то

183

n

q j = 1.

j 1

В этом случае в качестве показателя, который необходимо максимизировать, берется среднее значение выигрыша

Определим наилучшую стратегию по критерию Байеса:

30 0,2 + 22 0,4 + 14 0,3 + 6 0,1 = 19,6, 6 0,2 + 40 0,4 + 32 0,3 + 24 0,1 = 29,2,

–18 0,2 + 16 0,4 + 50 0,3 + 42 0,1 = 22,0,

– 42 0,2 – 8 0,4 + 26 0,3 + 60 0,1 = 2,2.

Наилучшая стратегия С2 дает максимальный средний «выигрыш» в размере 29,2 тыс. ден.ед.

Критерий Лапласа применяется в случае наибольшей неопределенности обстановки. При этом все n состояний «природы» принимаются равновероятными, т.е. вероятность каж-

дого из состояний qj = n1 . Согласно этому критерию «недоста-

точного основания» находится максимальный «средний» выигрыш.

Определим наилучшую стратегию по критерию Лапласа:

(30 + 22 + 14 + 6) /4 = 18,0, (6 + 40 + 32 + 24) /4 = 25,5, (–18 + 16 + 50 + 42) /4 = 22,5, (– 42 – 8 + 26 + 60) /4 = 9,0.

Наилучшая стратегия С2 дает максимальный средний «выигрыш» в размере 25,5 тыс. ден.ед.

184