Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В

Таким образом, применяя свою первую чистую стратегию с вероятностью 0,124 и вторую – с вероятностью 0,876, игрок А выигрывает величину 4,76. Игрок В, применяя свою вторую чистую стратегию с вероятностью 0,25 и третью – с вероятностью 0,75, проигрывает величину 4,76, иначе он проигрывает больше.

Игра два на два (2 х 2)

Рассмотрим игру, в которой у игроков А и В по две стратегии. Платежная матрица имеет вид

Рассмотрим случай, когда игра не имеет седловой точки. Теорема 4. Пусть S*A и S*B – оптимальные смешанные

стратегии игры с платежной матрицей (7.1) и ценой игры , тогда для любого i, при котором выполняется строгое неравенство

n

а ij qj < ,

j 1

имеет место равенство pi = 0. А если pi > 0, то

i 1

170

Определим оптимальную смешанную стратегию S*A

игрока А, а для этого решим систему трех уравнений с тремя неизвестными

а11 p1 + а21 p2 = , а12 p1 + а22 p2 = ,

p1 + p2 = 1.

Решив следующую систему, найдем оптимальную стратегию S*B игрока В:

а11 q1 + а12 q2 = , а21 q1 + а22 q2 = ,

q1 + q2 = 1.

Рассмотрим первую систему. Вычитая из первого равенства второе, получая

(а11 - а12) p1 + (а21 - а22) p2 = 0.

Подставим P2 = 1 – P1, тогда

(а11 – а12) p1 + (а21 – а22) (1– p1 ) = 0,

отсюда оптимальная смешанная стратегия для игрока А – S*( p1, p2) это – хорошо

P1 = (а22 – а21)/( а11 – а12 + а22 – а21),

P2 = 1– P1 = (а11 – а12)/( а11 – а12 + а22 – а21).

цена игры

= ( а11 а22 – а21 а12)/( а11 – а12 + а22 – а21).

Рассуждая аналогично, для определения оптимальной стратегии игрока В получая

q1 = (а22 – а12)/( а11 – а12 + а22 – а21), q2 = (а11 – а21)/( а11 – а12 + а22 – а21).

Пример. Имеются две конкурирующие фирмы А и В, выпускающие изделия двух модификаций. Изучение спроса покупателей показало, что если выпускаются изделия первой

171

модификации обеими фирмами, А1 и В1, то 40 % покупателей предпочитают изделия фирмы А и 60 % - фирмы В. Если выпускаются изделия А1 и В2, то 90 % покупателей приобретают изделия А. Если изготавливаются изделия А2 и В1, будет продано 70 % изделий фирмы А. Наконец, если выпускаются изделия второй модификации А2 и В2 обеими фирмами, то 20 % покупателей предпочитают изделия фирмы А.

Решение. Представим выигрыш фирмы А в табличной форме

а11 = 40 % - 60 % = -20 %; а12 = 90 % - 10 % = 80 %; а21 = 70 % - 30 % = 40 %; а22 = 20 % - 80 % = -60 %.

Нижняя цена игры составляет (-20), верхняя равна 40. Игра не имеет седловой точки. Найдем оптимальные смешанные стратегии

p1 = (-60 - 40)/(-20 –80-60-40) = 12 ; p2 = 12 ;

= [-20 (-60)- 40 80]/ (-20 –80-60-40) = 10;

q1 = (-60 - 80)/(-20 –80-60-40) = 107 ; q2 = 103 .

Выигрыш фирмы А в соответствии с ценой игры составит 10 %. Следовательно, предпочтение покупателей можно выразить как А – В = 10 %, но А + В = 100 %, тогда А = 55 %;

В= 45 %. Следовательно, при таких оптимальных стратегиях изделия фирмы А будут покупать 55 % потребителей, а фирма

В– 45 % потребителей.

172

Геометрическое решение игры

Пусть игра 2 х 2 имеет платежную матрицу (7.8). Изобразим на оси абсцисс отрезок горизонтальной линии единичной длины и обозначим концы отрезка через нуль и единицу. Из точек 0 и 1 по осям ординат восстановим перпендикулярные линии и изобразим на них выигрыши игрока А при использовании им соответственно чистых стратегий А1 и А2. Все

промежуточные точки отрезка ( 0,1) будут изображать смешанные стратегии:

Произведем аналогичные построения для игрока В:

173