Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В
|
|
|
|
|
В этом случае страте- |
В2 |
|
В2 гия В2 – доминирующая и |
|||
|
|
|
|
ее отбрасывают. Оптималь- |
|
|
|
|
|
ное решение игры – в чи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
стых стратегиях |
||
|
|
* |
|||
|
|
|
SA = (0;1), т.е. p1 = 0, p2 = 1. |
||
|
|
||||
В1 |
A2 |
|
|||
А1 0 |
|
||||
1 |
|
||||
|
|
Р2 |
|
||
Пример. Найдем графическое и аналитическое решение игры:
|
|
|
В1 |
В2 |
|
|
|
|
= 4, = 5, - |
|
|
||||
|
А1 |
2 |
5 |
|
|
следовательно, седловой точки нет. |
|
|
|||||||
|
А2 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем оптимальную смешанную стратегию игрока А |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p1 + 6p2 = , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5p1 + 4p2 = , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
|
p1 + p2 = 1. |
|
|
|||
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
|
2p1 + 6p2 – 5p1 – 4p2 = 0: |
|||||||||
|
|
|
|
B2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2p2 – 3p1 = 0, p1 = 1 - p2: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4,4 |
|
5p2 = 3; p2 = |
|
; p1 = |
|
; |
||
В1 |
|
|
|
|
|
5 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
S* |
= ( p* |
, p* ) = (0,4; 0,6); |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
A |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
|
= 2p1 + 6p2 = 4,4. |
|||||||||
0 |
|
|
* |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p2 = 0,6 |
SA |
p1 = 0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
|
|
|
|
|
|
|
S*A
Найдем оптимальную смешанную стратегию игрока В:
A 2q1 + 5q2 = , 2 М A1 6q1 + 4q2 = , q1 + q2 = 1.
A2
|
|
|
|
|
S*B = ( q1* ,q*2 ) = ( |
1 |
, |
4 |
). |
|
|
|
|||||||
|
5 |
5 |
|||||||
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 0 |
|
|
B2 |
|
|
|
|
||
|
* |
1 |
|
|
|
|
|||
|
4 |
SB |
|
|
|
|
|
|
|
q2 = |
q1 |
= 1/5 |
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Игры 2 х n и m х 2
Допустим, платежная матрица задана и имеет вид 2 х n:
|
В1 |
В2 |
… |
Вn |
А1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
|
|
|
|
|
А2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
Игрок А имеет две стратегии, а игрок В – неограниченное число стратегий.
176
Bn
B2
B1
A1
0
|
|
B1 |
Точка максимума М |
||
|
|
|
|
находится на Пересе- |
|
|
M |
|
|
чении стратегий В1 и |
|
|
|
|
|
В2, остальные отбрасыва- |
|
|
B2 |
ются, далее игра реша- |
|||
|
|
||||
|
|
ется как задача 2 х 2. |
|||
|
|
Bn |
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
S*A |
1 |
|
|
|
p2 |
p1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
|
В2 |
|
|
А1 |
a11 |
|
a12 |
|
|
А2 |
a21 |
|
a22 |
|
|
… |
… |
|
… |
|
|
Am |
аm1 |
|
аm2 |
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, платежная матрица имеет вид m х 2:
Am |
|
|
|
A1 |
|
M |
|
|
A2 |
||
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Am |
|
A1 |
|
|
|
||
|
|
|
B2 |
||
B1 |
0 |
|
|||
|
S*B |
|
1 |
|
|
|
|
q2 |
|
q1 |
|
Минимум М находится на пересечении стратегий А1 и Аm, остальные отбрасываются, далее игра решается как задача 2 х 2.
177
Пример. Пусть игра задана в виде платежной матрицы
|
В1 |
В2 |
В3 |
Игра (2 х 3) не имеет седловой точки |
А1 |
1 |
10 |
3 |
= 4, = 5, , имеем игру в сме- |
А2 |
8 |
4 |
5 |
шанных стратегиях. |
Решим задачу графически и аналитически. Для игрока А: получаем игру 2 х 2, используя стратегии В2 и В3 игрока В:
В2 |
|
|
10 |
|
10p1 + 4p2 = , |
|||||||||||
|
|
В1 |
|
|
3p1 + 5p2 = , |
|||||||||||
|
|
|
|
p1 + p2 = 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
p1 = |
1 |
; p2 = |
7 |
|
; = |
19 |
; |
||||
|
|
M |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
8 |
|
8 |
|
4 |
|
|||||||||
5 |
|
В3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
B2 |
|
|
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|||||
В3 |
|
|
S*A = ( |
; |
). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
8 |
8 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B1 |
|
1 A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A1 0 |
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S*A p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для игрока В:
S*A
178
А1 |
|
10 |
10q1 |
+ 3q3 = , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4q2 |
+ 5q2 = , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 + q3 = 1. |
|
|
|
|||||||
|
|
M |
|
|
q2 = |
1 |
; q3 |
= |
3 |
|
; = |
19 |
; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
4 |
||||||||||
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
А2 |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A1 |
SB |
= ( |
|
; |
|
). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 0 |
|
|
1 B3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q3 |
S*B |
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тема 8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ
S*
ИГР. ИГРЫ С «ПРИРОДОЙA »
В результате изучения данной темы студенты должны: знать:
-область применения моделей теории статистических игр
вэкономике;
-основные понятия теории статистических игр;
-методы решения задач теории статистических игр; уметь:
-формулировать постановку различных задач теории статистических игр;
-находить решение задач теории статистических игр;
-давать экономическую интерпретацию полученных результатов решения задач теории статистических игр;
-применять методы теории статистических игр для решения практических задач;
владеть:
-математическим аппаратом теории статистических игр;
-практическими навыками формулирования и решения задач теории статистических игр, в том числе с помощью ЭВМ.
179