Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В

Б. Система обслуживания с ожиданием или без потерь

(замкнутая система массового обслуживания)

Вероятность того, что в системе занято k обслуживающих аппаратов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда очереди нет:

где k– число требований; n – число обслуживающих аппаратов; m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно.

Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда есть очередь:

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т.е. средняя длина очереди

50

Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, т.е. в очереди и в обслуживании

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов

Пример. Два рабочих обслуживают группу из 9 станков. В среднем каждый станок останавливается один раз в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования системы массового обслуживания.

Решение. n = 2, m = 9, = 1, Т обсл = 6 мин = 0,1 ч.,

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 – все станки работают, очереди нет;

k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет; k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;

…………………………..………………………………

k = 9 – два станка обслуживаются, семь в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р9.

51

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Р0 = (2,43545)-1 = 0,4106.

Среднее число станков, стоящих в очереди:

9

М1 = (k 2) Рk = 0,098.

k 3

Это означает, что в среднем из 9 станков 0,098 простаивают в очереди на обслуживание.

Коэффициент простоя станка в очереди

К1 = 0,098 = 0,011. 9

Это означает, что в среднем каждый станок 1,1 % времени простаивает в очереди.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)

9

М2 = k Рk = 0,907.

k 1

Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 1 станок из 9 не будет работать.

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания

К2 = 0,907 = 0,1008. 9

Это означает, что 10,08 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 9.

52

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)

1

М3 = (2 k) Рk = 1,1907.

k 0

Это означает, что из двух человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 18,6 % времени.

Коэффициент простоя рабочего

К3 = 1,1907 = 0,595. 2

Это означает, что в среднем каждый рабочий 59,5 % рабочего времени простаивает без работы.

Результаты расчетов представлены в таблице 5.

Для автоматизации расчёта характеристик многоканальной замкнутой системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП

PRIMA. Выбор вида модели осуществляется в закладке Параметры и завершается нажатием кнопки Выбор (рис. 35).

Рис. 35. Выбор модели СМО

53