Документ: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В, страницы 46-50

в) смешанные системы (заявки присоединяются к очереди, если она не больше определенной длины, или покидают очередь не обслуженными, если закончилось допустимое время ожидания).

Второй признак – все системы массового обслуживания могут быть подразделены в зависимости от количества обслуживающих аппаратов на системы с ограниченным (конечным) и с неограниченным числом обслуживающих аппаратов.

Третий признак – СМО подразделяются по числу требований, которые одновременно могут находиться в обслуживающей системе, на системы с ограниченным и неограниченным потоком требований. В замкнутых системах источники требований находятся внутри системы, а в разомкнутых – вне её.

Четвертый признак – СМО могут подразделяться в зависимости от дисциплины обслуживания на системы с упорядоченной очередью, с неупорядоченным (случайным) выбором из очереди и с приоритетом обслуживания.

Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания

Чтобы улучшить работу СМО путем изменения ее организации, необходимо рассчитать показатели качества её функционирования при существующем варианте организации и при других возможных вариантах и на основе этих расчетов принять решение.

А. Система обслуживания с потерями (отказами)

Вероятность того, что в обслуживающей системе находится точно k требований, т.е. занято k обслуживающих аппаратов:

Рk =	k
Рk =	Р0 ,	(2.8)
	k!

где k – число требований в системе (k = 1, 2, 3, …, n); n – число обслуживающих аппаратов; Р0 – вероятность того, что в системе нет ни одного требования.

45

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны (простаивают):

n		k
Р0 = (		)-1 .	(2.9)
k 0	k!

Вероятность отказа в обслуживании. Отказ происходит в случае, когда все обслуживающие аппараты заняты. Тогда вероятность отказа равна вероятности того, что все аппараты заняты, или вероятности того, что в системе находится ровно n требований:

Ротказа = Pn =	n	n		k
	(			)-1 .	(2.10)
n!		k 0	k!
Относительная пропускная способность и вероятность то-
го, что пришедшая заявка будет обслужена
Q = Pобс = 1 – Pотк = 1 – Pn .					(2.11)
Абсолютная пропускная способность и интенсивность
выходящего потока обслуженных заявок
A = Q = (1 – Pn).					(2.12)

Степень загрузки системы характеризуется средним числом занятых обслуживающих аппаратов

n

М = k Pk = (1 – Pn). (2.13)

k 0

Коэффициент загрузки обслуживающего аппарата

Кзаг = М / n . (2.14)

Пример. В механическом цехе на одном участке работают 3 контролёра. Если деталь поступает в ОТК, когда контролёры заняты, она уходит на склад готовой продукции, не ожидая контроля. Известно, что среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение 1 ч. равно 24, а среднее время обслуживания равно 5 мин. Какова вероятность того, что деталь не будет проконтролирована и насколько будут загружены контролёры работой

Решение. n = 3, = 24, Т обсл = 5 мин = 121 ч.,

46

		=			1		= 12,				=				=					24		= 2,					n .
																				12

				Т обсл
					3	3			k									0			1			2	2			2		3
Ротказа =			2			(		2		) 1 =			8	(		2					2			2			+	2			)-1	=
Ротказа =						(				) 1 =				(													+				)-1	=
			2!				k 0 k!						6		0!						1!			2!				3!
	4	(1+ 2 + 2 +							4		-1		4						19		-1			4
=											)	=					(				)		=			= 0,21.
=	3								3		)	=	3				(			3	)		=	19		= 0,21.
	3								3				3							3				19
		Вероятность отказа 0,21 означает, что из 100 деталей в
среднем ОТК пройдет 79 деталей и не пройдет 21 деталь.
		Определим степень загрузки контролёров
											3
							М = k Pk = 0 Р0 + 1 Р1 + 2 Р2 + 3 Р3 .
											k 0
		Расчеты представлены в следующей табл. 4.
																																	Таблица 4
	Число заня-										Рk/Ро=						k						Рk =					k
																	k											k
	тых контро-																												Р0				k Рk
	тых контро-														k!												k!						k Рk
		леров													k!												k!
		леров
			0										1												0,16								0
			1										2												0,32								0,32
			2										2												0,32								0,64
			3									4/3													0,21								0,63
												19/3														1							1,59

Р0 = ( 193 )-1 = 0,16;

М = 1,59 означает, что полностью занято более полутора контролёров.

Коэффициент загрузки одного контролёра Кзаг = Mn 1,593 = 0,53,

т.е. каждый контролёр в среднем занят более половины дня.

Для автоматизации расчёта характеристик системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA (рис. 32).

47

Рис. 32. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму

Выбор модели СМО осуществляется с помощью закладки Параметры. Для этого необходимо выделить требуемый вид модели и нажать кнопку Выбор (рис. 33). Исходными данными для многоканальной системы массового обслуживания с отказами являются: интенсивность входного потока , интенсивность обслуживания и число каналов обслуживания n (рис. 32). Результаты расчётов характеристик СМО с отказами в ППП PRIMA представлены на рис. 34.

48

Рис. 33. Выбор модели СМО

Рис. 34. Результаты расчётов характеристик СМО с отказами

49

Материал: Математические методы и модели в экономике. Амелин С.В

Смотрите также: