Материал: Мат. анализ 1

31

Доказательство.

Так как функция

непрерывна на

, то по теоремам Вейерштрасса (см.

,

глава 5, §4)

ограничена на

и достигает в этом промежутке своего наибольшего

и наименьшего значений:

,

;

;

,

.

Возможны два случая: 1)

и

2)

.

1) если

, то

, т.е.

на

;

следовательно:

.

2)

. В этом случае по крайней мере одна из точек

или

лежит внутри

промежутка

. Действительно, если бы обе точки являлись концами отрезка

, то

значения функции в этих точках совпадали бы:

.

Пусть

та из точек

или

, которая лежит внутри промежутка

. В точке

функция

принимает наименьшее или наибольшее значение и точка

является

внутренней точкой промежутка

. Следовательно,

точка экстремума.

Так как функция

дифференцируема на

, то она дифференцируема и в

точке . Тогда по теореме Ферма

.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что если крайние

ординаты графика функции

равны, то на этом графике найдется точка,

касательная в которой к графику функции параллельна оси

(см. рис.)

Следствие 1.

Между двумя корнями (нулями) дифференцируемой функции всегда есть хотя бы

один корень (нуль) ее производной.

Действительно, пусть

корни функции

, т.е.

и

,

тогда

и по теореме Ролля между

и

найдется значение :

,

т.е. найдется число , которое является корнем производной

.

Следствие 2.

Пусть

многочлен степени

.

Если все его корни действительны и различны, то корни производной многочлена

также действительны и различны, и лежат между корнями многочлена

.

Действительно, расположим все корни многочлена

в порядке возрастания:

33

Доказанное равенство:

можно записать в виде:

, откуда следует, что в этом равенстве не важно:

или

,

а важно лишь то, что точка

лежит между и .

Обозначим:

,

,

или

;

; тогда по теореме Лагранжа имеем:

,

где

, или

.

Последнее равенство дает точное выражение для приращения функции

при

(см. §6 главы 1).

Теорема Коши.

Пусть функции

и

определены на

и обладают следующими

свойствами:

1)

и

непрерывны на

;

2)

и

дифференцируемы на

;

3)

.

Тогда внутри промежутка

найдется такая точка , в которой выполняется равенство:

Доказательство.

.

Заметим, что

, т.е.

. Действительно, если

, то по теореме Ролля

:

, что противоречит условию 3).

Введем вспомогательную функцию:

,

где

. Вычислим значения функции

на концах отрезка

:

;

Итак, получили:

.

.

Кроме того, функция

дифференцируема на

как разность

дифференцируемых функций

и

и непрерывна на

как

разность тех же непрерывных функций.

Таким образом, функция

удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Следовательно,

:

. Так как

, то

.

Замечания.

1)

Формула:

верна и в случае, когда

.

2)

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, когда

,

.

Пусть функция

дифференцируема на некотором множестве

. Тогда в

каждой точке этого множества существует конечная производная:

,

.

Возникает новая функция

,

. Если эта новая функция дифференцируема

в точке , т.е. существует конечная производная:

,

то она называется производной 2-го порядка или второй производной функции

и

обозначается:

. Таким образом, по определению:

.

Пусть функция

дифференцируема на некотором множестве

.

Тогда

возникает новая функция

,

.

Если эта функция

дифференцируема на некотором множестве

, то

.

2)

;

;

,

, … ,

.

3)

,

;

,

,

,

… ,

,

.

,

, … ,

.

4)

;

,

,

,

,

… ,

.

6)

;

.

7)

,

;

,

;

;

,

.

Здесь

,

,

.