Материал: Мат. анализ 1

Глава 1. Производная и дифференциал

… 2

Глава 2. Основные теоремы дифференциального исчисления

…

27

Глава 3.

Исследование функций

…

53

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Глава 4.

Неопределенный интеграл

…

85

Глава 5.

Определенный интеграл

…

119

Глава 6. Приложения определенного интеграла

…

142

Глава 7.

Несобственные интегралы

…

172

II. Задачи и упражнения.

Задачи к главе 1

…

201

Задачи к главе 2

…

205

Задачи к главе 3

…

207

Задачи к главе 4

…

210

Задачи к главе 5

…

213

Задачи к главе 6

…

215

Задачи к главе 7

…

217

Ответы

…

219

Литература

…

231

§ 1.

Производная функции …………………………………………………………………… 3

§ 2.

Производные основных элементарных функций ………………..……… 9

§ 3.

Понятие дифференцируемости

.....………………………………………… 11

Дана функция

с областью определения

. Пусть

внутренняя точка

множества

, т.е.

входит в множество

вместе с некоторой своей окрестностью:

.

Пусть

, тогда величина

называется приращением аргумента

(приращением независимой переменной) в точке , а величина

называется

приращением функции (приращением зависимой переменной) в точке

. Обозначения:

- приращение аргумента;

- приращение функции.

Приращения аргумента и функции могут принимать любые значения

(положительные, отрицательные или нулевые).

Поведение функции

в окрестности точки можно описать

качественно

или

количественно , если известна некоторая зависимость приращения функции от

приращения аргумента

. Например, если

при

, то функция

является непрерывной в точке .

Для более точной характеристики поведения функции

в окрестности точки

служит понятие производной одно из фундаментальных понятий в математическом

анализе.

Определение. Если существует предел

(конечный или бесконечный), то этот

предел называется производной функции

в точке

и обозначается

:

,

,

.

Если производная функции

вычисляется в произвольной точке

, то

применяется формула:

Примеры.

.

1.

где

;

;

;

;

в частности:

.

3.

,

;

;

.

;

.

5.

если

;

;

не существует;

.

6.

если

;

;

;

.

Геометрический смысл производной.

Рассмотрим на плоскости некоторую кривую

и точку , лежащую на этой

кривой. Проведем секущую через точку

и через другую точку , также лежащую на

кривой . Далее перемещаем точку вдоль кривой

, неограниченно приближая к точке

(см. рис.)

Определение. Предельное положение секущей

при неограниченном приближении

точки

вдоль кривой к точке

называется касательной к кривой в точке .

Используя понятие касательной, сформулируем геометрический смысл

производной.

Для этого рассмотрим график

непрерывной функции

и точку

, ),

где

. Проведем секущую

и касательную к графику

в точке

. Пусть

угол между секущей и осью

,

угол между касательной и осью ,

угловой коэффициент касательной

.

Из рисунка видно, что

.

При

точка

неограниченно

приближается к точке

вдоль графика

и, следовательно, секущая

переходит в

пределе в касательную. При этом

и

.

Если

существует, то

.

Таким образом, производная функции

в точке

равна угловому

коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке

:

.

Уравнение касательной:

или:

.

Уравнение нормали:

или:

.

Пример 7.

Составим уравнения касательной и нормали к графику функции

в точке

.

Здесь

,

.

Уравнение касательной:

или

.

Уравнение нормали:

или

.

Из геометрического смысла производной следует:

;

.

В случае

имеем горизонтальную касательную с уравнением:

и вертикальную нормаль с уравнением:

.

В случае

имеем вертикальную касательную с уравнением:

и

горизонтальную нормаль с уравнением:

.

Пример 8. Для функции

в точке

имеем

см Пример

,

поэтому касательная к графику функции в этой точке будет вертикальной

и

будет совпадать с осью

, а нормаль будет горизонтальной

и будет совпадать с

осью

см рис