Материал: Мат. анализ 1

Пусть

путь, пройденный материальной точкой за время при

прямолинейном движении. Тогда

- путь, пройденный за время .

Отношение

средняя скорость движения на этом промежутке.

данный момент времени .

Скоростью движения точки в момент времени

(или мгновенной скоростью)

называется предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка

времени

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в

момент времени есть производная пути

по времени :

.

Аналогично устанавливается, что ускорение

прямолинейного движения

материальной точки в момент времени

есть производная скорости по времени :

.

2. Сила тока.

Пусть

количество электричества, протекающего через поперечное

сечение проводника за время . Тогда

- количество электричества,

протекающего за время . Отношение

средняя сила тока за промежуток .

Силой тока в момент времени называется предел средней силы тока при

стремлении к нулю промежутка времени

.

Таким образом, сила тока в момент времени

есть производная количества

электричества

по времени :

.

7

3. Теплоемкость тела.

Пусть

количество тепла, необходимого при нагревании тела от до

температуры

. Тогда

- количество тепла, необходимого при

нагревании тела на температуру

. Отношение

средняя теплоемкость при

нагревании от

до

.

Теплоемкостью тела при температуре

называется предел средней теплоемкости

при стремлении к нулю величины

.

Таким образом, теплоемкость тела при температуре

есть производная

количества тепла

по температуре

:

.

Обобщая вышеприведенные примеры, можно сформулировать физический смысл

производной:

если функция

описывает какой-либо физический процесс, то ее

производная

есть

скорость

протекания этого процесса.

производной); если ограничиться лишь значениями

(слева от точки

), то

получим определение производной слева (левосторонней производной):

;

.

.

Если

,

, но

, то

не существует.

В этом случае касательная к графику функции

в точке

также не существует, но в

левосторонняя

касательная

правосторонняя

касательная

8

В случае бесконечных значений производных справа и слева имеем следующую

картину:

- если

и

, то и

;

- если

и

, то и

.

В этих случаях касательная к графику в точке

является вертикальной (см. Пример 8).

Если

,

, или

,

,

т.е.

, то в этом случае

, при этом левосторонняя и

Так как

, то

не существует.

Геометрически это означает,

что в точке

касательная к графику

функции

не существует.

.

касательная

Здесь левосторонняя и правосторонняя

касательные вертикальны и совпадают.

Замечание.

В определении производной функции

в некоторой точке предполагалось,

что

внутренняя точка области определения

. Теперь можно допустить, что эта

содержало некоторый промежуток вида

или

, где

. Тогда

производная в точке будет пониматься как односторонняя производная.

1. Постоянная функция:

.

2.1.

,

натуральное число .

Например:

;

;

.

3. Степенная функция. Общий случай:

,

.

3.1.

;

;

при

;

.

;

3.2.

; в этом случае

.

;

если

если

.

если

Например:

;

.

4. Показательная функция:

, где

.

;

при

;

; в частности:

.

5. Логарифмическая функция:

, где

.

при

;

;

;

; в частности:

.

6. Тригонометрические функции.

6.1.

;

;

при

;