Материал: Мат. анализ 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

;

5) ;

Производные гиперболических функций.

1)	Функция гиперболический синус:	;						.


5) Функция гиперболический косинус:			;
								.


6)	Функция гиперболический тангенс:			;		.



7)	Функция гиперболический котангенс:				;		.

Таким образом, получили формулы для производных гиперболических функций:

Производная обратной функции.

Рассмотрим функцию

строго монотонную и непрерывную на некотором

промежутке

с областью значений . Тогда, как известно, существует обратная функция

, которая является непрерывной на множестве (см.

, глава 5, §5).

Теорема.

Пусть

строго монотонная и непрерывная функция на промежутке ,

. Пусть

дифференцируема в точке

. Тогда

обратная функция

дифференцируема в точке

, при этом:

Доказательство.

						17
Если	приращение функции		, то	приращение обратной функции
:		.
Из непрерывности обратной функции следует,				что если	, то и	,
причем если	, то и	, и наоборот (ввиду строгой монотонности этих функций).
Тогда имеем:

. Теорема доказана.

Замечание. Формулы для производных взаимно-обратных функций можно записать в

виде:		или		.

Производные обратных тригонометрических функций.

8)	;	;	;		.
8)	;	;	;		.
						при			.

9)	;	;	;	.
9)	;	;	;	.
								при	.

10)	;	;	;				.
										.


11)	;	;	;	.
11)	;	;	;	.

Таким образом, имеем формулы для производных обратных тригонометрических функций:

;

Замечание.

Функции

имеют конечные производные в любой точке из

области определения;

функции

имеют конечные производные в

любой точке из области определения за исключением точек

, в которых

производные равны .

Полученные формулы для производных основных элементарных функций, а также правила вычисления производных сведем в таблицы.

Таблица производных.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Правила вычисления производных.

	,	,	.
1.
2.		,
3.
4.
5.
5.
6.
6.
7.	,
8.	,
8.	,

§ 5. Специальные методы дифференцирования функций.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде:

или

. Однако есть функции, заданные аналитически, но не в явном виде. И

для таких функций также возникает вопрос об их дифференцировании.

1. Дифференцирование неявных функций.

Пусть дано уравнение вида:

связывающее две переменные и . Если для каждого фиксированного значения из


некоторого множества			уравнение имеет единственное решение			, то говорят, что это
уравнение задает неявную функцию				,	.
	Из определения неявной функции следует, что для всех					выполняется
равенство:					.
	Всякую явно заданную функцию				можно записать как неявно заданную
уравнением:			, но не наоборот: не любую неявно заданную функцию можно
записать в виде явной функции.
	Например, неявную функцию, заданную уравнением					, можно задать и
явно:		, а неявную функцию, заданную уравнением				, явно задать не

удастся.
	Не всегда уравнение вида:				задает какую-либо неявную функцию.
Например, уравнение				не задает никакой функции.

Вопросы существования неявной функции, ее непрерывности и дифференцируемости рассматриваются в последующих разделах математического анализа.

Здесь мы рассмотрим лишь метод вычисления производных неявных функций, предполагая дифференцируемость этих функций.

Основная идея метода заключается в том, чтобы продифференцировать обе части

уравнения	по переменной , рассматривая при этом как функцию от , и
полученное затем уравнение разрешить относительно		. Полученное значение будет
выражаться через аргумент и неявную (неизвестную) функцию .
Примеры.
1)	;
	;	;
	;	;
		.
		.

2)		;

;			;
;			;

	;	;
	;	;
		;
				.
				.

2. Дифференцирование параметрически заданных функций.
Зависимость между	переменными			и		может быть выражена через
вспомогательную переменную, называемую параметром:
,		параметр				некоторый промежуток .
Если функция	имеет обратную функцию					, то	сложная
функция от . Пусть функции		и	дифференцируемы по переменной				, тогда
					.

Полученное значение		также будет выражаться через параметр .

Таким образом, для параметрически заданной функции имеем:

Пример 3.

3. Логарифмическое дифференцирование.

При вычислении производных некоторых функций целесообразно сначала прологарифмировать (по любому основанию) заданные функции, а затем результат продифференцировать. Такая операция называется логарифмическим дифференцированием:


			.

Естественно, что логарифмирование целесообразно применять в тех случаях, когда
выражение	можно	упростить	для последующего дифференцирования.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)