Материал: Мат. анализ 1

1)

,

;

2)

(степенно-показательная функция),

,

5)

;

§ 6.

Дифференциал функции.

Пусть функция

дифференцируема в точке

(см. §3); тогда

приращение

может

быть представлено в

виде

суммы

двух бесконечно малых

функций:

- главной части (линейной относительно

) и

- бесконечно малой более высокого порядка, чем :

при

, где

.

22

Определение. Дифференциалом функции

в точке

называется главная часть

(линейная относительно ) приращения

функции

, т.е. слагаемое

, где

.

Обозначения:

,

, или

,

.

Итак, по определению:

, или

.

Если точка

не указана, то пишут:

, или

.

Примеры.

1)

,

,

;

,

,

.

2)

,

;

,

,

.

.

Замечание.

Дифференциал

функции

в точке

зависит только от ,

т.е. является

функцией (линейной)

одной переменной

.

Если точка

произвольная, то

зависит не только от

, но и от , т.е. является функцией двух переменных

и .

Геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим график

непрерывной функции

и точку

, ) на этом

графике. Проведем секущую

и касательную

к графику

в точке

(см. рис.)

Пусть

угол между касательной и осью

и

приращение аргумента; тогда

,

приращение функции (приращение ординаты кривой).

Из геометрического смысла производной:

,

а также из формулы:

имеем:

(приращение

ординаты касательной).

Пусть

путь,

пройденный материальной точкой за время

при

прямолинейном движении. Тогда

- путь, пройденный точкой за

время .

Из механического смысла производной:

, а также из формулы:

имеем:

.

Таким образом,

дифференциал функции

в момент времени

равен

пути, который прошла бы материальная точка за время

, если бы она двигалась все

это время равномерно со скоростью

.

Замечание.

Если применить формулу

для функции

, то получим:

, или:

аргумента).

Учитывая это равенство, в дальнейшем вместо

будем писать , а формула для

дифференциала примет вид:

.

Дифференциалы основных элементарных функций.

Дифференциал

лишь множителем

отличается от производной .

Инвариантность формы дифференциала.

Если

дифференцируемая функция,

независимая переменная, то

.

Пусть

зависимая переменная, т.е.

функция от другой переменной:

,

где

дифференцируемая функция; тогда

.

Рассмотрим сложную функцию

от переменной

и вычислим ее

дифференциал:

, т.е.

для

сложной функции

форма дифференциала имеет тот же вид:

.

Полученное свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

Форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции

зависимой переменной (т.е. функцией) или же независимой переменной.

Замечание.

Свойство

инвариантности касается

только

формы дифференциала, а не его

«содержания»: в случае независимой переменной

мы имеем:

; а в случае

зависимой переменной

, вообще говоря,

.

Свойство инвариантности формы дифференциала удобно использовать при

вычислении дифференциалов сложных функций.

Примеры.

4)

;

.

5)

;

.

,

,

.

1.

2.

,

3.

4.

5.

6.

7.

,

8.

,

.

Аналогично

для остальных формул.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

По определению дифференциала функции

в точке

имеем:

при

.

Это означает, что

при

, т.е. разность между

приращением функции

и ее дифференциалом

представляет собой бесконечно

малую величину более высокого порядка, чем приращение аргумента

:

при

.

Это обстоятельство позволяет заменить величину

на величину

и составить

приближенное равенство:

.

При этом относительная погрешность приближенного равенства становится сколь

угодно малой при достаточно малом .

Выгода замены приращения функции ее дифференциалом

состоит в том, что

зависит от приращения аргумента линейно, в то время как

представляет собой

обычно более сложную функцию от .

Подставляя в приближенное равенство значения

и

, получим:

, или:

.

Например, для степенной функции

имеем приближенное равенство: