Материал: Мат. анализ 1

26

.

Пусть

, тогда получим:

, в частности:

,

,

,

и т.д.

Если в приближенное равенство подставить

, то получим:

.

Геометрически это означает замену участка графика функции, примыкающего к

точке

, отрезком касательной к графику функции в этой точке (см. рис. в

начале этого параграфа: кривая

заменяется отрезком

).

Пример 6.

Вычислим приближенно значение

и сравним его с точным значением.

Здесь

,

,

;

,

,

.

По формуле:

получим:

.

Итак, приближенное значение:

;

точное значение:

;

;

;

абсолютная погрешность:

;

относительная погрешность формулы:

;

относительная погрешность вычислений:

.

§ 1.

Понятие экстремума. Теорема Ферма ………………………………………………. 28

§ 2.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши ………..……………………………………..…… 30

§ 1.

Понятие экстремума. Теорема Ферма.

Дана функция

с областью определения

и

внутренняя точка

множества .

Определение. Точка

называется точкой максимума функции

, если в

некоторой окрестности этой точки значение

является наибольшим, т.е.

:

.

Значение

называется максимумом.

Определение. Точка

называется точкой минимума функции

, если в

некоторой окрестности этой точки значение

является наименьшим, т.е.

:

.

Значение

называется минимумом.

29

На этом рисунке точки

,

точки максимума,

точки

,

точки минимума;

(минимум больше максимума!);

наименьшее значение функции,

наибольшее значение функции; наименьшее и наибольшее значения функции здесь

достигаются на концах промежутка

и .

Замечание 3.

Если наибольшее значение функции

на промежутке

достигается в

некоторой внутренней точке

из этого промежутка, то эта точка

является точкой (одной

из точек) максимума функции

. Аналогично для наименьшего значения.

Понятие экстремума можно ввести, используя понятия приращений

и .

Пусть

,

- приращение аргумента;

- приращение функции;

;

.

Условие:

равносильно условию:

(здесь

общее обозначение

окрестности какой-нибудь точки,

это разные окрестности).

Определение.

т.

:

(т.е. для всех достаточно малых

);

т.

:

(т.е. для всех достаточно малых

).

Теорема Ферма.

Пусть

точка экстремума функции

. Если функция дифференцируема в

точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

т. экстр.,

(конечная)

.

Доказательство.

Пусть

точка

, тогда

:

.

Рассмотрим отношение

;

для

выполняется неравенство:

,

а для

неравенство:

. Переходя к пределу в неравенствах, получим:

,

.

Так как

функция

дифференцируема в точке

, то

. Следовательно,

и

,

но это возможно лишь при условии, что

.

Аналогично доказывается в случае, когда

точка

. Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что

если в точке

экстремума касательная к графику существует, то она параллельна оси

(см. рис.)

Обратное утверждение к теореме Ферма неверно: если

, то

может

и не быть точкой экстремума. Например, функция

в точке

имеет

производную, равную нулю:

,

; однако эта точка не является точкой

экстремума (см. рис.)

§ 2.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.

В этом параграфе рассматриваются функции

, заданные на отрезке

и обладающие следующими свойствами:

-

непрерывна на

;

-

дифференцируема на

.

Так как из дифференцируемости функции на

следует ее непрерывность на

, то вместо непрерывности на отрезке

можно было бы потребовать лишь

непрерывность на концах отрезка: в точках

(в точке

непрерывность справа,

в точке

непрерывность слева).

Теорема Ролля (о корнях производной).

Пусть функция

определена на

и обладает следующими свойствами:

1)

непрерывна на

;

2)

дифференцируема на

;

3)

, т.е. на концах промежутка функция принимает равные значения.

Тогда внутри промежутка

найдется такая точка, в которой производная равна нулю:

:

.