Материал: Мат. анализ 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

если

; если

, то

если

;

при

, как известно,

(см. Пример 6 §1 главы 1);

если

;

если

Первая производная функции

существует для

. Легко проверить, что

для

вторая производная функции

также существует. Но при

это уже не

так. Действительно, покажем, что

не дифференцируема в точке 0.

Для этого заметим, что

не существует, т.е.

не является непрерывной в точке 0.

Следовательно,

и не дифференцируема в

точке 0.

Таким образом, конечной второй производной

не существует (можно

показать, что и бесконечной

также не существует).

В этом примере

Механический смысл второй производной.

Как известно, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент

времени

есть производная пройденного пути

по времени :

, а ускорение

прямолинейного движения материальной точки в момент времени

есть

производная скорости

по времени :

Следовательно, вторая производная пройденного пути

по времени есть

ускорение

в момент времени :

Свойства производных высших порядков.

Теорема.

Пусть функции

- раз дифференцируемы,

Тогда - раз дифференцируемы также функции

и справедливы

следующие равенства:

;

3. Формула Лейбница:

, или в развернутом виде:

Здесь

, и т.д., аналогично для функции .

Первые две формулы легко получаются последовательным применением

аналогичных формул для первой производной.
Вывод формулы Лейбница можно найти, например, в					, . Для первых 3-х
значений эта формула, как легко проверить, имеет вид:
			;
			;
				.
Пример 9.
Найдем при помощи формулы Лейбница					.
Пусть	,		; тогда
		,	,	,	.
		,	,	,	.

Таким образом, в формуле Лейбница все слагаемые, кроме первых трех, равны нулю:

Производные высших порядков неявных и параметрически заданных функций.

Пусть функция

задана неявно уравнением

(см. 5 главы 1).

Продифференцировав обе части уравнения

по переменной

, найдем первую

производную

Продифференцировав по

первую производную

найдем вторую

производную

В нее войдут

, и .

Подставляя уже найденное значение

во

вторую производную,

выразим

через и .

Аналогично поступаем для нахождения производных более высоких порядков.

Пример 10.

;

					.
	Пусть функция	задана параметрическими уравнениями:		.

Как известно (см. 5 главы 1), первая производная			вычисляется по формуле:

и выражается через параметр . Чтобы найти вторую производную , запишем первую

производную в параметрическом виде:

Тогда

Аналогично вычисляются третья и последующие производные:

и т. д.

Пример 11.

;

Дифференциалы высших порядков.

Если функция

дифференцируема в точке , то ее дифференциал в этой

точке равен

;

если

произвольная точка, то

Дифференциал

(далее будем его называть первым дифференциалом или

дифференциалом первого порядка) зависит от двух независимых переменных и .

Если зафиксировать , то

будет зависеть только от одной переменной . Это

позволяет говорить о дифференцируемости функции

как функции от

и находить от

нее производную и дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) будем называть

дифференциал от первого дифференциала при фиксированном (постоянном)	:
.
Дифференциалом третьего порядка (третьим дифференциалом) будем называть
дифференциал от второго дифференциала при фиксированном (постоянном)	:
.

Вообще, дифференциалом -го порядка ( - м дифференциалом) будем называть

		39
дифференциал от	-го дифференциала при фиксированном (постоянном)	:
	.
При вычислении дифференциалов высших порядков важно помнить, что		это

произвольное и не зависящее от число, которое при дифференцировании следует рассматривать как постоянный множитель.

Выведем формулы для вычисления дифференциалов высших порядков:
;
	и т. д.
Легко доказать, что в общем виде получаем формулу:	.

Таким образом, имеем следующие формулы для вычисления дифференциалов любого порядка:

В частности, значения дифференциалов любого порядка функции		в
заданной точке	вычисляются по формулам:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Свойства дифференциалов высших порядков.

Теорема.
Пусть функции	,	- раз дифференцируемы,				,	.
Тогда - раз дифференцируемы также функции			,	,	,	и справедливы
следующие равенства:
1.	,		;
2.		;
3.			, или в развернутом виде:

Здесь	,	,	,	и т.д.
Эти свойства вытекают из соответствующих свойств для производных высших
порядков после умножения каждого равенства на величину				.

Пример 12.

§4. Формула Тейлора.

Формула Тейлора для многочлена.
Постановка задачи. Пусть заданы многочлен степени			:
	,	и произвольное число		.
Требуется разложить многочлен	по степеням		, т.е. записать его в
виде:
			,
где неизвестные коэффициенты должны быть выражены через заданные числа				и .
Решение задачи.
Последовательно раз дифференцируя многочлен		, получим:
			,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

						.
Подставим значение		в каждую производную:
,	,			,		,		.
Получаем значения неизвестных коэффициентов						:
,			,		,		, … ,		.
,			,		,		, … ,		.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)