Материал: Мат. анализ 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тем самым коэффициенты выражены через значения многочлена и его производных в точке , т.е. выражены через заданные числа и . Задача решена.

Полученный многочлен (т.е. другая форма записи заданного многочлена) имеет

вид:

Эта формула называется формулой Тейлора для многочлена.

При

формулу Тейлора называют формулой Маклорена:

Пример 1.

Разложить многочлен

по степеням

Здесь

Найдем все производные многочлена

до 3-го порядка:

Вычислим значения производных в точке

Подставим найденные значения в формулу Тейлора:

Ответ:

Бином Ньютона.

Применим формулу Тейлора (Маклорена) к многочлену

в точке

;

,	;
	,	;
	,	;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Получили формулу бинома Ньютона:

или в сокращенной форме:

, где

При

получаем более привычную форму записи:

Формула Тейлора для произвольной функции.

Постановка задачи. Пусть заданы функция

и произвольное число

Предполагается, что для функции

существуют все производные до

-го порядка

в точке . Это означает, что

, … ,

в окрестности

в самой точке.

Требуется найти такой многочлен

, который отличался бы от функции

на

бесконечно малую величину порядка выше

-го по сравнению с

при

Решение задачи.

при

, т.е.

Введем понятие многочлена Тейлора для заданной функции

и точки

Многочлен Тейлора

обладает, как показано выше, следующими свойствами:

. . . . . . . . . . . . . .

т.е. этот многочлен и все его производные до

-го порядка в точке имеют те же

значения, что и функция

и ее производные.

Докажем, что многочлен Тейлора

и является решением поставленной задачи.

Введем обозначение:

Заметим, что для

имеют место равенства:

Теорема 1.

Если для функции	, имеющей все производные до -го порядка в точке ,
выполнены равенства:		, то
	при	.

Доказательство. Докажем это утверждение методом математической индукции.

1) база индукции:

;

пусть

; тогда

при

2) индукционный переход; пусть утверждение верно для

при

;

надо доказать, что оно верно и для

при

Пусть

, тогда для функции

имеем равенства:

следовательно:

при

Далее по теореме Лагранжа:

где точка лежит между точками и

Так как

, то

при

, где

. Следовательно:

при

(произведение бесконечно малой на ограниченную величину),

т.е.

Тогда

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует формула:

где

, или:

которая называется формулой Тейлора для функции		в точке .
Разность функции	и многочлена Тейлора:	называется
остаточным членом формулы Тейлора.
Запись:	называется остаточным членом в форме Пеано, а

сама формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

				44
При	формула Тейлора имеет вид:
				,
				,
т.е. является выражением функции			с точностью до бесконечно малой порядка выше
первого через линейную функцию			.
Эта формула совпадает с формулой (см. §3 главы 1), связывающей приращение
функции	с ее дифференциалом		:
			,
где	,	,		.
где	,	,		.
В общем случае формула Тейлора выражает функцию				многочленом -й
степени с точностью до бесконечно малой порядка выше -го.

Пример 2.

Составим формулу Тейлора для функции в точке при . Найдем все производные до 3-го порядка; для заданной функции применим логарифмическое дифференцирование (см. §5 главы 1):

;

Вычислим значение функции и ее производных в точке			:
;	;	;	.
Подставим найденные значения в формулу Тейлора:
			.
			.
Ответ:			.
Ответ:			.

Используя понятие дифференциалов высших порядков и формулы для их вычисления (см. §3), формулу Тейлора можно записать в виде:

При		формула Тейлора называется формулой Маклорена:

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена.

	Выражение заданной функции				через многочлен Тейлора с остаточным
членом называется разложением функции по формуле Тейлора (Маклорена).
	Составим разложения по формуле Маклорена следующих функций:
,	,	,	,	. При этом воспользуемся формулами для
производных высших порядков этих функций (см. §3).
1.		,	;	,		;
						.
						.
2.		,	;		;	;
2.		,	;			;

3.	,	;			;

;

4.	,	;		,

;

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)