Материал: Мат. анализ 1

Неопределенности типа

.

Теорема 2 правило Лопиталя для неопределенности типа

.

Пусть функции

и

определены на

проколотой окрестности

точки и обладают следующими свойствами:

1)

,

;

2)

и

дифференцируемы на

;

3)

.

Тогда если существует

(конечный или бесконечный), то существует и

, при этом выполняется равенство:

.

Доказательство этой теоремы можно найти в

, .

Замечание. Теоремы 1 и 2 справедливы и в случае односторонних пределов:

и

в случае пределов на бесконечности:

,

,

.

Пример 2.

Пусть

;

,

т.е. при

логарифмическая функция

растет медленнее, чем любая степенная

функция с положительным показателем степени.

Пример 3.

Пусть

;

Если

, то снова можно применить правило Лопиталя, если

, то предел

равен нулю.

Пусть

для некоторого

; тогда после

- кратного применения

правила Лопиталя, получим:

Кроме рассмотренных неопределенностей типа

и

есть неопределенности

типа:

,

, ,

,

(см.

, глава 4, §10).

Неопределенности

и

легко сводятся к неопределенностям

и

. Покажем это на примерах.

.

В случае неопределенностей типа

,

,

рекомендуется эти выражения

Пусть

, где

;

;

тогда

представляет собой неопределенность уже изученного типа

.

Если

, то

.

Пример 6.

;

(см. Пример 4)

.

Пример 7.

;

.

;

.

§ 1.

Исследование функций на монотонность

……………………………………………….

54

§ 2.

Исследование функций на экстремумы

………..……………………………………..…

59

§ 3.

Исследование функций на выпуклость (вогнутость) ………………..……….………

68

§ 4.

Построение графиков функций ………………………………………………..………. 75

54

§ 1.

Исследование функций на монотонность.

Рассматриваемые в этом параграфе функции

с областью определения

предполагаются непрерывными на промежутке

и дифференцируемыми внутри

него. При этом промежуток может быть замкнутым, открытым, полуоткрытым,

ограниченным или неограниченным. Через

обозначим внутреннюю часть .

Признак постоянства функции.

Теорема 1.

Для того чтобы

была постоянной на промежутке

, необходимо и достаточно,

чтобы производная функции тождественно равнялась нулю внутри :

на

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть

на

. Тогда

.

Достаточность. Пусть

.

Возьмем произвольные точки

,

. По теореме Лагранжа (см. §2 главы 2) найдется точка

такая, что

.

Так как

, то

и

, т.е.

.

Это означает, что функция

принимает одно и то же значение во всех точках

промежутка , т.е.

постоянна на промежутке .

тригонометрии тождества:

;

.

Действительно: пусть

, тогда

. Подставим в это равенство

:

. Следовательно:

Следствие.

Если две функции

и

имеют равные производные внутри промежутка ,

то эти функции могут отличаться,

лишь на постоянное слагаемое на этом промежутке:

на .

55

Доказательство.

Пусть

, тогда

на

на .

Следствие доказано.

Пример 1.

Рассмотрим две функции:

и

,

.

;

.

на

.

Найдем значение константы ; для этого в последнее равенство подставим

:

. Следовательно:

.

Пример 2.

Рассмотрим две функции:

и

,

.

;

.

.

Здесь константа

может быть различной на каждом из интервалов:

,

,

.

Подставляя значения:

,

получим соответственно значения

:

,

,

,

,

.

Таким образом, имеем следующие тождества:

;

;

.