Материал: Мат. анализ 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Признаки монотонности функции.

Теорема 2 (признак монотонности).

1) для того чтобы функция была возрастающей на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы производная функции была неотрицательна внутри :

на		.
2) для того чтобы функция	была убывающей на промежутке		, необходимо и
достаточно, чтобы производная функции была неположительна внутри			:
на		.

Доказательство.

Докажем первое утверждение; второе утверждение доказывается аналогично.

Необходимость.		Пусть	на	,			- приращение функции;
тогда			и		, т.е.		.
Перейдем в последнем неравенстве к пределу при						:	, т.е.	.
Достаточность.		Пусть			. Возьмем произвольные точки			,
	. По теореме Лагранжа найдется точка						такая, что
							.
Так как		и			, то	и	, т.е.
			,	.	Это означает, что		на .
Теорема доказана.
Теорема 3 (признак строгой монотонности).
	1) для того чтобы функция				была строго возрастающей на промежутке			,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись одновременно следующие два условия:


а)		; б) внутри		не существует интервала	, в котором
	тождественно, т.е.			.
2) для того чтобы функция			была строго убывающей на промежутке ,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись одновременно следующие два условия:

а)		; б) внутри	не существует интервала	, в котором
	тождественно, т.е.		.

Доказательство.

Докажем первое утверждение; второе утверждение доказывается аналогично.

Необходимость. Пусть

строго на , тогда

на и по Теореме 2 имеем:

условие а) - выполнено. Условие б) - докажем методом от

противного; пусть найдется такой интервал		, в котором	;
тогда по Теореме 1 имеем:	на	, но это противоречит условию строгой
монотонности функции на промежутке . Поэтому условие б) - также выполнено.

						57
Достаточность.		Пусть выполнены условия а) и б). Из условия а) по Теореме 2 следует,
что	на .	Докажем, что	строго	на методом от противного. Пусть
найдутся такие значения			,	, что	. В силу возрастания
функции имеем неравенства:				; так как	, то
				; следовательно:		,
но это противоречит условию б).			Поэтому	строго на .
Теорема доказана.

Здесь на рисунке приведен график монотонной функции, которая не является

строго монотонной, т.к. есть интервал

, на котором функция постоянна.

Теорема 4 (достаточное условие строгой монотонности).
1) если			, то	строго возрастает на промежутке ;
2) если			, то	строго убывает на промежутке .
Доказательство.
1) возьмем произвольные точки				,		. По теореме Лагранжа
найдется точка		такая, что
						.
Так как	и			, то	и	, т.е.
		,	. Это означает, что			строго на .
Аналогично доказывается пункт 2). Теорема доказана.
Замечание.
Достаточное условие строгой монотонности не является необходимым, т.е. если
функция строго монотонна на некотором промежутке					, то не обязательно, чтобы
выполнялось и строгое неравенство для ее производной:							.
Из строгой монотонности, как и обычной монотонности, следует лишь нестрогое
неравенство:				.
Например, функция
строго возрастает на			. Но ее
производная		обращается
в нуль при	:		.

Обобщением Теоремы 4 является следующее утверждение.

Теорема 5 (достаточное условие строгой монотонности).

1) если			за исключением (быть может) лишь конечного числа
значений	, в которых	, то		строго возрастает на промежутке ;
2) если			за исключением (быть может) лишь конечного числа
значений	, в которых	,	то	строго убывает на промежутке .

Доказательство теоремы 5 проводится на основе предыдущих утверждений и никакой сложности не представляет.

Пример 3.	;
		,
	,		.
Итак, на любом конечном промежутке, согласно Теореме 5, функция				строго
возрастает. Следовательно, функция			строго возрастает и на	.

Изложенные признаки монотонности функций успешно применяются при доказательстве неравенств.

Пример 4.

Доказать неравенство:

Пусть

; тогда

Как известно:

(см. , глава 4, §5, Лемма 1), поэтому

. Следовательно, функция

строго возрастает на промежутке

, т.е

Так как

, то получаем:

Учитывая, что в обеих частях неравенства стоят четные функции, получаем:

. Неравенство доказано.

Пример 5.

Доказать неравенство:

Пусть

; тогда

Из предыдущего примера имеем:

Следовательно, функция

строго возрастает на промежутке

т.е

. Так как

, то получаем:

. Неравенство доказано.

Пример 6.

Доказать неравенство:

Пусть

; тогда

. Следовательно,

функция

строго убывает на промежутке

, т.е

Неравенство доказано.

§ 2. Исследование функций на экстремумы.

Необходимые условия экстремума.

Напомним некоторые сведения, связанные с понятием экстремума, введенные в

§1 главы 2.
Определение. Точка называется точкой максимума функции						, если в
некоторой окрестности этой точки значение				является наибольшим, т.е.
	:		. Значение		называется максимумом.
Точка	называется точкой минимума функции					, если в некоторой
окрестности этой точки значение			является наименьшим, т.е.
	:		. Значение		называется минимумом.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Значение
функции в точке экстремума называется экстремумом.
Для точек экстремума была доказана следующая теорема (см. §1 главы 2).
Теорема Ферма.
Пусть	точка экстремума функции			. Если функция дифференцируема в
точке , то ее производная в этой точке равна нулю:
		т. экстр.,	(конечная)			.
Например,		функция	в точке	имеет минимум и производная в этой
точке равна нулю:		,	.
Надо заметить, что обратное утверждение к теореме Ферма неверно: если
, то		может и не быть точкой экстремума.			Например, функция		в
точке	имеет производную, равную нулю:				,	; однако эта

точка не является точкой экстремума (см. рис.)

Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет точки экстремума, то это те

точки, в которых производная либо равна нулю, либо равна				, либо не существует.
Например:
- функция	в точке		имеет минимум,	не существует (см. рис.);
- функция		в точке	имеет минимум,	(см. рис.).

Далее, исследуя функцию	на экстремум, будем предполагать, что она
непрерывна на .
Определение. Точки, в которых производная функции		равна нулю, либо равна ,
либо не существует, называются критическими точками функции			(или точками,
подозрительными на экстремум).

Таким образом, имеем необходимые условия экстремума:

если	точка экстремума функции			, то	критическая точка функции	.
	Точки, в которых производная функции				равна нулю, называются
стационарными точками.
	Экстремум функции		, достигаемый в стационарной точке, называется гладким
экстремумом. Если экстремум достигается в точке, в которой производная						не
существует, но существуют конечные					, то экстремум называется угловым.
Если же в точке экстремума				, то такой экстремум называется острым.
	Например:
	- функция	в точке		имеет гладкий минимум;
	- функция	в точке		имеет угловой минимум;

	- функция	в точке		имеет острый минимум.
	Необходимые условия экстремума не являются достаточными:
если	критическая точка функции			, то	не обязательно точка экстремума.
Например, для функции			точка		критическая (стационарная) точка, но она
не является точкой экстремума.

Необходимые условия экстремума позволяют сузить поиск экстремальных точек функции от множества всех точек до множества критических точек данной функции.

Решение задачи нахождения точек экстремума заданной непрерывной функции начинается с поиска всех критических точек данной функции.

После этого каждая критическая точка подвергается «испытанию»: проверке дополнительных условий, обеспечивающих наличие или отсутствие экстремума в данной точке. Эти дополнительные условия называются достаточными условиями экстремума.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)