Материал: Мат. анализ 1

66

Пусть

четное число;

тогда

; если при этом

, то

и

, т.е.

точка максимума;

если же

, то

и

,

т.е.

точка минимума.

Пусть

нечетное число; тогда

при

и

при

;

в этом случае независимо от знака

выражение

меняет

знак при переходе через точку .

Следовательно, разность

также меняет знак, т.е.

с

одной стороны от точки

и

с другой стороны от точки

. Это означает, что

в точке экстремума нет.

Теорема доказана.

Пример 5.

,

;

,

,

;

,

- нечетное число в точке

экстремума нет.

,

;

,

,

,

;

,

- четное число

точка

экстремума;

точка минимума.

если

если

в точке имеет производные любого порядка, причем

см

.

Хотя ясно, что

имеет в точке

минимум, но установить этот факт с помощью

доказанного критерия (Теоремы 3)

не удалось бы.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция

определена и непрерывна на отрезке

. По теореме

Вейерштрасса см

глав

§

функция достигает своего наименьшего и наибольшего

значений на этом отрезке, т.е.

,

где

,

,

где

.

Требуется найти числа

и

, а также соответствующие им значения

и .

промежутка

, либо на его концах, т.е. в точках и .

Если эти значения достигаются внутри

, то они являются экстремумами;

значит, надо искать их среди критических точек функции

.

1) найти все критические точки

, … ,

функции

на интервале

;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках

, … ,

,

а также значения на концах промежутка

и

;

3) среди вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 6.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

на промежутке

.

1) найдем критические точки на интервале

:

,

,

единственная критическая точка на интервале

;

2) вычислим значения функции в точке

и в точках

и

:

;

;

;

3)

;

.

Ответ:

наименьшее значение функции;

наибольшее значение функции.

Пример 7.

Из квадратного листа жести со стороною

,

вырезая по углам равные квадратики и сгибая края,

составляют прямоугольную открытую коробку (см. рис.)

Как получить коробку наибольшей вместимости?

x

Если сторону вырезаемого квадратика обозначить через

, то объем коробки

выразится так:

, где

. Надо найти наибольшее значение

функции

на этом промежутке.

1) найдем критические точки:

;

,

;

2) вычислим значения функции

в точке

и в точках

и

:

;

;

3)

.

Ответ: Коробку наибольшей вместимости

можно получить, если вырезать

квадратики со стороной

.

Дана функция

непрерывная на промежутке

.

Определение.

Функция

называется выпуклой (выпуклой вниз) на промежутке

, если

для любых точек

и

вып

ня т я н

в н тв

для любых чисел

,

таких, что

,

,

.

Определение.

Функция

называется вогнутой (выпуклой вверх) на промежутке

, если

для любых точек

и

вып

ня т я н

в н тв

для любых чисел

,

таких, что

,

,

.

Замечание.

Из определений следует, что если функция

выпукла (выпукла вниз), то

функция

- вогнута (выпукла вверх) и наоборот. Это обстоятельство позволяет

во многих случаях ограничиваться изучением лишь выпуклых функций.

На графике функции

отметим точки

,

и

проведем хорду (прямую), соединяющую точки и

(см. рис.). Уравнение этой хорды:

,

где

,

.

Заметим, что при

,

и

точка

лежит между точками и

на оси абсцисс;

если

,

, то

, а если

,

, то

.

Соответственно, точка

лежит между точкам

и на оси ординат, где

.

При этом точка

лежит на графике функции

, а точка

лежит на хорде, так как ее координаты удовлетворяют уравнению хорды:

.

Неравенство:

означает, что точка на

графике лежит ниже соответствующей точки

на хорде.

Сформулируем без доказательства см

еще один геометрический смысл

выпуклости и вогнутости функции.

касательная

,

а с другой стороны:

, т.е.

,

.

2) Рассмотрим квадратичную функцию:

.

Здесь

;

.

Найдем разность этих выражений:

.

Получили неравенство:

,

.

Следовательно, функция

является выпуклой (выпуклой вниз) на всей

числовой оси.

Отметим простейшие свойства выпуклых функций.

1) если

выпуклая функция и

,

, то

также

выпуклая функция.

2) сумма двух или нескольких выпуклых функций также выпуклая функция.

Условия выпуклости функции.

Пусть

выпуклая функция на промежутке

, т.е.

,

,

таких, что

,

,

, выполняется неравенство:

.

Пусть

,

и

, т.е.

,

,

.

Выразим числа

и

через :

,

.

Итак,

,

. Тогда условие выпуклости функции запишется в виде:

,

,

выполняется неравенство:

.

Учитывая, что

, последнее неравенство можно записать в виде:

.

Неравенство

является условием выпуклости функции

на промежутке

.

Преобразуем неравенство

:

.

Учитывая, что

и

, получим неравенство: