Материал: Мат. анализ 1

Наклонные асимптоты.

Пусть кривая

имеет наклонную асимптоту :

; тогда

расстояние

от точки

, лежащей на графике, до прямой должно

стремиться к нулю:

при

при

.

Таким образом, наличие наклонной асимптоты кривой

равносильно

следующему условию:

.

Условие

можно записать так:

, где

при

, или:

при

.

, где

Из условия

получаем:

1)

при

, т.е.

;

2)

при

, т.е.

.

Итак, кривая

имеет наклонную асимптоту

, тогда и только

тогда, когда существуют конечные пределы:

,

.

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен

, то наклонной

асимптоты у кривой нет.

При

асимптота называется горизонтальной.

Замечание.

У кривой могут быть разные асимптоты при

и

.

Пример .

Функция

.

Здесь

, поэтому при

график функции

наклонной асимптоты не имеет.

При

получим:

,

правило Лопиталя

.

Следовательно, при

график функции имеет горизонтальную асимптоту

.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции

.

Здесь

является точкой разрыва 2-го рода:

, поэтому

прямая

является вертикальной асимптотой графика функции.

77

Далее имеем:

;

.

Ответ: прямая

является вертикальной асимптотой, а прямая

является

наклонной асимптотой графика функции.

Знание асимптот графика функции значительно облегчает построение этого

графика. Например, если имеется наклонная асимптота

, то при

функция

может быть заменена линейной функцией

.

Общая схема исследования функции.

Дана функция

. Для полного исследования функции требуется выполнить

Пример 5.

Функция

.

1.

2.

общего вида;

непериодическая функция

3.

;

4.

;

;

;

5.

непрерывна на

;

точка разрыва 2-го рода

6. Вертикальная асимптота:

; наклонная асимптота:

;

;

;

7.

наклонная асимптота:

8.

;

на

,

на

,

9.

на

;

- точка

,

;

,

10.

выпукла вниз на

и на

;

точек перегиба нет

11.

5

5

0

75

2

25

5

5

12.

График функции

Пример 6. Функция

.

1.

2.

четная;

непериодическая функция

3.

;

4.

5.

непрерывна на

; точек разрыва нет

6.

Вертикальных асимптот нет;

наклонная асимптота:

;

;

;

горизонтальная асимптота:

7.