Материал: Мат. анализ 1

данной функции

ее производной

или дифференциала

. Например, по

известному закону движения

найти скорость движения

или

дифференциал

, а также ускорение

.

В интегральном исчислении решается обратная задача: по известной производной

или дифференциалу

найти саму функцию

. Например, по заданной

скорости движения

или ускорению

найти закон движения

.

Пусть функция

определена на

, где

это один из промежутков:

, или

, или

, или

.

Определение.

Функция

называется первообразной для функции

на

, если

для всех

выполняется равенство:

или

.

Например, для функции

первообразной будет функция

, так

как

.

Очевидно, что первообразными для функции

являются также функции

,

и, вообще, все функции вида

, где

, так как

.

Задача нахождения для данной функции всех ее первообразных называется

интегрированием функции.

Теорема 1 (общий вид всех первообразных).

Пусть

какая-нибудь первообразная для

на

. Тогда множество

всех первообразных для

имеет вид:

, где

произвольная постоянная.

Доказательство.

1.

Если

первообразная для

, то

также первообразная, так как

.

2.

Пусть

любая первообразная для

на

, т.е.

.

Тогда

.

, т.е.

.

Таким образом, действительно множество всех первообразных для

имеет

вид:

, где

. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции

только одну

первообразную

, чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от

друга постоянными слагаемыми.

Определение. Множество всех первообразных функции

называется

неопределенным интегралом от функции

и обозначается символом:

.

Здесь символ

знак интеграла,

переменная интегрирования,

подынтегральная функция,

подынтегральное выражение.

Итак, по определению

,

,

где

,

.

Например:

.

Замечание. Переменная интегрирования

может быть обозначена любым другим

символом, например:

, , и т.д.

Тогда неопределенный интеграл запишется в виде:

,

или

и т.д.

Например:

.

Теорема 2 (о существовании первообразной).

Если функция

непрерывна на промежутке

, то для нее существует

первообразная

на этом промежутке.

,

.

2. Неопределенный интеграл от производной и от дифференциала функции равен

самой функции «плюс» :

,

,

.

Справедливость этих свойств следует из определения неопределенного интеграла:

;

;

;

.

«дифференцирование» взаимно-обратны. При этом знаки и

стоящие рядом

взаимно сокращаются; знаки и

стоящие рядом также взаимно сокращаются, но

добавляется произвольная постоянная.

Свойство 1 означает также, что правильность интегрирования можно проверить

путем дифференцирования.

Например,

, так как при

имеем:

, а

при

имеем:

.

Или:

, так как

.

Используя это свойство, из таблицы производных и дифференциалов можно

получить таблицу неопределенных интегралов.

Основная таблица интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

19.

18.

20.

.

.

3. Линейная замена переменной:

если

и

, то

.

Это вытекает из следующего свойства: если

, то



,



.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1)

.

2)

.

3)

4)

.

5)

, где

.

Таким образом, получили следующие табличные интегралы:

,

,

,

,

,

.

Примеры.

1.

2.

3.

4.