Материал: Мат. анализ 1

91

§2. Основные методы интегрирования.

Косновным методам интегрирования относятся:

метод непосредственного интегрирования;

метод замены переменной;

метод интегрирования по частям.

1. Непосредственное интегрирование.

Этот метод состоит в применении основной таблицы интегралов и правил интегрирования путем тождественных преобразований с использованием известных формул элементарной математики. Рассмотрим примеры.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

Пример 4.

;

Пример 5.

.

92

Пример 6.

;

.

2. Замена переменной (метод подстановки или подведения под знак дифференциала).

Метод замены переменной основан на следующем факте.

дифференцируемая функция, то это равенство остается верным, т.е. , или иначе:

формула замены переменной.

Это следует из равенства:

.

Частным случаем этой формулы является линейная замена переменной:

.

Формула замены переменной может применяться в следующем виде:

, или:

,

такой метод называется еще подведением под знак дифференциала.

Например:

;

.

93

Применение формулы замены переменной возможно и в следующей форме (метод подстановки):

Например:

.

Замену переменной в неопределенном интеграле можно применять в тех случаях, когда невозможно непосредственное интегрирование. В случае «удачной» замены исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к интегралу, к которому можно применить непосредственное интегрирование.

Общих методов подбора нужной замены переменной не существует. Лишь в отдельных случаях можно дать рекомендации, облегчающие поиск нужной замены переменной. Умение подобрать подходящую замену приходит с опытом и приобретается упражнениями и практикой.

Случаи, когда можно рекомендовать подходящую замену переменной, связаны с известными формулами для дифференциалов:

Рассмотрим некоторые интегралы, в которых встречаются эти выражения для дифференциалов, и укажем нужную замену (подстановку) переменной.

; и т.д.

Например:

94

.

Например:

.

;

.

Например:

;

;

;

;

.

В общем случае, если непосредственное интегрирование к результату не приводит, то можно рекомендовать тригонометрические или гиперболические подстановки:

, ,

.

При этом используются известные соотношения между этими функциями:

95

Например:

.

;

.

Аналогично можно показать, что

.

.

Аналогично можно показать, что

.