Материал: Мат. анализ 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

101

Определение.

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующих типов:

где

заданные вещественные числа,

вещественная переменная,

натуральное число,

Примеры простейших дробей:

- дробь типа;

- дробь

типа;

- дробь

типа.

Из приведенной ниже теоремы следует, что любая правильная дробь может быть выражена через простейшие дроби.

Теорема.

Пусть		- правильная рациональная дробь и знаменатель

разложен на линейные и квадратичные множители:

Тогда дробь

может быть разложена в сумму простейших дробей

типов, при этом:

- каждому простому множителю

соответствует простейшая дробь типа

;

- каждому кратному множителю

соответствует сумма простейших дробей

типов

;

- каждому простому множителю

соответствует простейшая дробь

типа

;

- каждому кратному множителю

соответствует сумма простейших дробей

и типов

При этом возникающие коэффициенты , , … ,

, , , … , - называются

неопределенными коэффициентами; они подлежат определению.

Например:

;

102

Эти равенства справедливы при любых допустимых значениях , т.е. представляют собой тождества.

Для вычисления неопределенных коэффициентов есть несколько методов. Основной метод заключается в следующем. От равенства дробей переходим к

равенству многочленов, которые получаются слева и справа от знака равенства после умножения на общий знаменатель.

Равенство (тождество) многочленов означает равенство их коэффициентов при одинаковых степенях . Составляем систему уравнений, приравнивая неопределенные коэффициенты с одной стороны и конкретные значения с другой стороны. Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты.

Иногда удобнее применять другой метод: подставлять конкретные значения

переменной		в эти многочлены и получать значения неопределенных коэффициентов,
или уравнения относительно них.
	Можно также и комбинировать эти 2 метода.
Примеры.
1)			.

Умножим обе части этого равенства на общий знаменатель:

										.
	Подставляя в это равенство значения				,	,			, получим:
		;			;					.
Следовательно:									.
Следовательно:									.
2)						.				.
2)						.

	Подставляя в это равенство значения				,	,		,		, получим:
			;					;
			;							;
					.
Следовательно:							.
Следовательно:							.
3)				.
3)				.

Раскрываем скобки в правой части этого тождества:

								103
							.
	Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях						многочленов, стоящих
слева и справа от знака равенства, получим систему уравнений:
		. Решая эту систему, получим:					.
Следовательно:					.
Следовательно:					.
4)			.					.
4)			.

	Подставляя в это равенство значение			, получим:				.
Раскрываем скобки в правой части тождества:
							.
	Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях						многочленов, стоящих
слева и справа от знака равенства:
		. Решая эту систему, получим:					.
Следовательно:						.
Следовательно:						.

Итак, любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей 4-х типов. Следовательно, интегрирование рациональной функции

сводится к интегрированию простейших дробей типов.

Интегрирование простейших дробей.

Например:				.

Например:

104

в знаменателе выделяем полный квадрат и вводим обозначение

Например:

где		- вычисляется по рекуррентной формуле (см. §2).

Например:

+ + 3 2+ 6 +10+ = 11 + 372	2+ 6 + 10 112	+3+ .
Таким образом, все простейшие дроби	типов интегрируются за конечное

число шагов. При этом интеграл от простейшей дроби выражается через рациональную дробь, логарифм и арктангенс.

Так как любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы

многочлена и простейших дробей, то можно сделать следующий вывод:

105

интеграл от любой рациональной функции является «берущимся» и выражается в конечном виде через рациональную функцию, логарифм и арктангенс.

Из всего вышесказанного можно сформулировать следующее правило.

Правило вычисления интеграла

от рациональной функции

1.Если дробь неправильная, то надо представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2.Знаменатель правильной рациональной дроби разложить на линейные и квадратичные множители.

3.Представить правильную рациональную дробь в виде суммы простейших

дробей.

4.Проинтегрировать многочлен и сумму простейших дробей.

Рассмотрим примеры.
Пример 5.
		.
		.
	1. Здесь		- неправильная дробь; выделим из нее целую часть путем
	1. Здесь		- неправильная дробь; выделим из нее целую часть путем
деления «уголком»:
										.



2.					.
2.					.
3.							- разложение в сумму простейших дробей.
3.							- разложение в сумму простейших дробей.
	Найдем неопределенные коэффициенты и .
								.
								.
	Подставим в это равенство					, тогда получим:			;
	подставим в это равенство					, тогда получим:				.
	Итак:			.
	Итак:			.
4.									.
4.

Ответ:					.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)