Материал: Мат. анализ 1

или

.

Как будет показано в §5, интегралы от функций

, рационально

зависящих от функций

и

, берутся в конечном виде.

2). Интегралы вида:

.

,

,

Эти интегралы вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного

трехчлена

и дальнейшей замены переменной.

, где

многочлен степени .

112

где

неопределенный коэффициент,

многочлен степени

с

неопределенными коэффициентами.

Для нахождения неопределенных коэффициентов нужно продифференцировать

обе части этого равенства и упростить полученное выражение:

,

,

.

Затем следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях

многочленов,

полученных в обеих частях этого равенства.

,

где

натуральное число.

Такие интегралы «рационализируются» с помощью замены переменной:

.

Действительно:

,

,

,

.

В результате получаем интеграл вида

, рассмотренный в

предыдущем пункте.

Пример 9.

.

Рассмотрим общий случай интегралов вида:

.

универсальный метод для таких интегралов

метод подстановок Эйлера.

подстановка Эйлера:

если

, то

или

.

подстановка Эйлера:

если

, то

или

.

подстановка Эйлера: если

, то

114

или

, где

корни

квадратного трехчлена

.

Эйлеровы подстановки всегда «рационализируют» подынтегральное выражение

(доказательство можно найти в

,

) и, следовательно, интегралы такого типа берутся

в конечном виде.

Пример 10.

.

Здесь

, применим

-ую подстановку Эйлера:

; тогда имеем:

.

где

.

1. Интегралы вида:

,

,

.

.

2. Интегралы от функций, рационально зависящих от функций

и

:

.

Эти интегралы «рационализируются» с помощью, так называемой универсальной

тригонометрической подстановки [у.т.п.]:

.

Действительно, по формулам тригонометрии имеем:

,

, и кроме того

.

Следовательно:

,

где

рациональная функция.

Пример 2.

[у.т.п.]

.

Пример 3.

у т п

.

Универсальная тригонометрическая подстановка приводит, как правило, к

громоздким вычислениям (в отличие от приведенных примеров).

Иногда целесообразны другие подстановки, например:

- если функция

нечетна относительно

, т.е.

, то рекомендуется подстановка

;

- если функция

нечетна относительно

, т.е.

, то рекомендуется подстановка

;