Материал: Мат. анализ 1

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

106

Пример 6.

1. Здесь

 

- правильная дробь.

 

2.Знаменатель дроби разложен на линейные и квадратичные множители.

3.Разложим дробь в сумму простейших дробей:

Найдем неопределенные коэффициенты

и D.

 

 

 

 

 

 

.

В правой части этого равенства раскроем скобки и приравняем коэффициенты

слева и справа полученного равенства при одинаковых степенях

:

. Решая эту систему, получим:

.

Итак:

 

 

 

 

 

.

 

 

 

4.

.

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7.

.

1. Здесь

 

- правильная дробь.

 

2.Знаменатель дроби разложен на линейные множители.

3.Разложим дробь в сумму простейших дробей:

Найдем неопределенные коэффициенты

и D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Подставим в это равенство

 

 

 

, тогда получим:

 

;

 

подставим в это равенство

 

 

 

 

, тогда получим:

 

 

 

;

подставляя значения

и

 

 

, получим систему уравнений:

 

.

Решая систему, получим:

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. Интегрирование иррациональных функций.

Интегралы от иррациональных функций в основном являются «неберущимися». Однако есть частные случаи, когда подынтегральную функцию с помощью замены переменной удается «рационализировать», т.е. свести к рациональной функции и тем самым вычислить интеграл.

Здесь мы рассмотрим три вида иррациональностей:

-линейные и дробно-линейные иррациональности;

-дифференциальные биномы;

-квадратичные иррациональности.

Как обычно, через

обозначаем рациональную функцию одной переменной:

 

 

- отношение многочленов; а через

обозначим рациональную

 

 

функцию двух переменных:

 

 

- отношение многочленов двух переменных.

 

 

Стоит напомнить о том, что многочлен представляет собой сумму степенных

функций с целыми неотрицательными показателями и вещественными коэффициентами.

1. Линейные и дробно-линейные иррациональности.

Рассмотрим интегралы вида:

и

 

, где

 

рациональная функция двух переменных.

Покажем, что с помощью подходящей замены переменной подынтегральные выражения «рационализируются».

 

Для интеграла

 

 

 

сделаем замену переменной:

 

;

тогда

 

 

,

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

108

, где рациональная

функция переменной .

Для интеграла

 

сделаем замену переменной:

 

;

 

 

нетрудно показать, что и в этом случае подынтегральное выражение также «рационализируется».

Пример 1.

.

Пример 2.

. Получили интеграл от рациональной функции.

Далее применяем схему интегрирования рациональной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Дифференциальные биномы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим интегралы вида:

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

где

рациональные числа, и

действительные числа.

Если

 

целые числа, то подынтегральная функция является рациональной

функцией и, следовательно, интеграл берется в конечном виде.

Пусть среди чисел

есть дробные числа. Тогда интеграл берется в конечном

виде, если оказывается целым хотя бы одно из следующих чисел:

 

 

 

 

 

 

 

,

 

,

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109

а именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема. Дифференциальный бином «рационализируется» с помощью следующих замен переменной:

- если

целое число, то

 

, где

общий знаменатель дробей

и ;

- если

 

целое число, то

 

 

 

 

, где

знаменатель дроби

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- если

 

целое число, то

 

 

 

 

 

, где

знаменатель дроби .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство этой теоремы можно найти в

, .

 

 

 

Во всех иных случаях интегралы от дифференциального бинома являются

«неберущимися». Этот факт был установлен П. Л. Чебышевым.

 

 

 

Например, для интеграла

 

 

имеем:

,

 

;

 

 

 

 

 

 

здесь все три числа

,

 

 

,

 

 

 

 

не целые числа, следовательно, данный интеграл -

 

 

 

 

«неберущийся».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

,

 

 

 

 

;

не целое число,

 

 

целое число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где

 

.

 

Пример 4.

.

Здесь

,

 

 

; и

 

 

не целые числа,

 

целое число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подынтегральное выражение «рационализировано». Далее применяем схему

интегрирования рациональной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Квадратичные иррациональности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим интегралы вида:

,

где

 

 

 

 

 

рациональная функция своих аргументов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследуем сначала частные случаи таких интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1). Интегралы вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

В частности, интегралы такого типа были рассмотрены в §

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

.

Некоторые интегралы можно свести к этому типу интегралов.

 

Пример 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

, то в этом случае должно быть

 

 

 

и

 

 

 

 

.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)