Материал: Мат. анализ 1

116

- если функция

четна относительно

и

, т.е.

, то рекомендуется подстановка

;

- если функция

, то также рекомендуется подстановка

.

Пример 4.

3. Интегралы вида:

,

где

рациональные числа.

В случае, когда

и

целые числа, имеем интеграл вида

,

разобранный в предыдущем пункте.

Выясним, при каких еще значениях

и интегралы такого типа являются

«берущимися».

Преобразуем подынтегральное выражение:

.

Сделав замену переменной:

, получим:

, т.е. получим интеграл от дифференциального бинома вида:

, где

,

,

(см. § 4).

Данный интеграл берется в конечном виде, если оказывается целым хотя бы одно

из следующих чисел:

,

,

,

т.е. если оказывается целым хотя бы одно из

чисел

,

или

.

117

Это означает, что интеграл

является «берущимся» тогда и

только тогда, когда хотя бы одно из чисел

или есть целое нечетное число, либо когда

есть целое четное число.

Пример 6.

где

.

Рассмотрим примеры интегралов

, где

целые числа.

Если и

натуральные числа, причем хотя бы одно из них - нечетное, то

применяется подстановка:

(при нечетном

) или

(при нечетном );

если же оба числа - четные, то применяются сначала формулы понижения степени:

,

,

.

Если и

отрицательные целые числа, причем

- четное, то применяется

подстановка:

.

Пример 8.

,

,

,

,

,

,

где

натуральное число,

.

Пусть

;

при

и

имеем:

,

.

.

Итак, получаем:

или:

,

, где

Например:

, где

,

§ 2.

Условия интегрируемости функции

……………..………………………..……… 124

§ 3.

Свойства определенного интеграла

……………………………………………… 128

Задача 1 (о пройденном пути).

Пусть материальная точка движется прямолинейно с переменной скоростью

,

. Требуется найти путь

, пройденный ею за промежуток времени от до .

Решение.

Разбиваем промежуток времени

произвольным образом на

частичных

промежутков

,

.

Пусть

,

ранг разбиения (дробления).

Предполагаем частичные промежутки столь малыми, что в течение промежутка

скорость

точки меняется незначительно, и можно приближенно считать ее

постоянной, равной значению

в некоторый момент времени

.

Тогда значение пути

, пройденного точкой за промежуток времени от

до

приближенно вычисляется по формуле:

.

Весь путь , пройденный точкой за промежуток времени от до

, будет

приближенно выражаться суммой:

.

Чем меньше частичные промежутки времени

, т.е. чем меньше ранг

разбиения , тем точнее это приближенное равенство. Точное равенство достигается в

пределе при

:

.

Задача 2 (о массе неоднородного стержня).

Имеется прямолинейный стержень, расположенный на отрезке

оси абсцисс с

линейной плотностью распределения массы

. Требуется найти массу

этого

стержня.

Решение.

Разбиваем стержень произвольным образом на

участков

,

. Пусть

,

ранг разбиения (дробления).

Предполагаем эти участки столь малыми, что на них линейная плотность

распределения массы

меняется незначительно, и можно приближенно считать ее

постоянной, равной значению

в некоторой точке

.

Тогда масса

участка

приближенно вычисляется по формуле:

.