Материал: Мат. анализ 1

Теорема 3.

Если функция

непрерывна на

, то она и интегрируема на

.

Доказательство.

и равномерно непрерывной на нем.

Значит,

такое, для любого разбиения промежутка

с рангом

разбиения

выполняется условие

одновременно для всех

.

Тогда

.

Итак, для

такое, что для любого разбиения промежутка

с

рангом разбиения

выполняется неравенство

.

По основному признаку интегрируемости это означает, что функция

интегрируема на

. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если функция

ограничена и кусочно-непрерывна на

, то она

интегрируема на

.

Доказательство этой теоремы есть в

, .

Теорема 5.

Если функция

ограничена и монотонна на

, то она интегрируема на

.

Доказательство.

Пусть

монотонно возрастает; тогда для любого разбиения промежутка

на части

будем иметь

,

и

.

Так как

, то

.

Итак, имеем:

.

Переходя в неравенстве к пределу при

, получим:

.

Следовательно, функция

интегрируема на

.

Теорема доказана.

Таким образом, выделены некоторые классы интегрируемых на

функций:

127

Замечание. Указанными классами функций не исчерпывается множество

всех

интегрируемых функций.

Для указанных классов функций существует определенный интеграл:

,

равный пределу интегральных сумм; причем этот предел не зависит ни от способа

разбиения, ни от выбора промежуточных точек.

Для таких функций можно выбрать способ разбиения

и набор

промежуточных точек

так, чтобы проще было вычислить указанный предел.

Например, можно выбрать равномерное разбиение промежутка

и набор

промежуточных точек, совпадающих с правыми (или левыми) концами частичных

промежутков:

,

. В этом случае имеем:

или:

.

В частности, если

, то имеем следующую формулу:

.

Теперь вычислим

, используя геометрический смысл интеграла, как

площадь криволинейной трапеции.

Здесь

,

;

графиком функции

является прямая,

а криволинейная трапеция в данном случае

представляет собой прямоугольный треугольник.

.

128

Пример 2.

Вычислим

, используя геометрический смысл интеграла.

Здесь

,

;

графиком функции

является

верхняя полуокружность с диаметром,

совпадающим с отрезком

на оси .

полукруга

.

Свойства интегрируемых функций.

1. Если функция

интегрируема на промежутке

, то

и

,

где

- также интегрируемы на этом промежутке.

2. Если функции

и

интегрируемы на промежутке

, то их сумма,

разность и произведение также интегрируемы на этом промежутке.

3. Если функция

интегрируема на промежутке

, то она интегрируема и в

любой части этого промежутка:

,

.

И наоборот, если промежуток

разложен на части, и в каждой части функция

интегрируема, то она интегрируема и во всем промежутке

:

,

.

4. Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе точек, то

интегрируемость ее не нарушится, причем величина интеграла сохранит прежнее

значение.

Благодаря последнему свойству мы получаем возможность говорить об интеграле

даже тогда, когда функция

не определена в конечном числе точек

промежутка

. При этом можно приписать в этих точках нашей функции совершенно

,

.

.

Свойство линейности можно записать и в следующем виде:

.

,

.

Доказательство.

1. Нормированность. Это свойство показано в Примере 2 из §1.

2. Линейность.

а)

.

б)

.

Замечание. При доказательстве этого свойства непосредственно установили, что из

интегрируемости функции

следует интегрируемость функции

, где

, а из интегрируемости функций

и

следует интегрируемость функции

.

130

Рассмотрим разбиение промежутка

на части так, чтобы точка

также

оказалась точкой деления. Введем обозначения интегральных сумм Римана:

по промежутку

;

по промежутку

;

по промежутку

.

Тогда

. Переходя к пределу в этом равенстве

при

, получим:

.

Замечание. Это свойство справедливо и при других расположениях точек

, , друг

относительно друга. Например, если

, то также верно равенство:

.

Действительно, по доказанному свойству имеем:

.

1. Интегрирование неравенств.

Если функции

и

интегрируемы на промежутке

и

, то

.

Доказательство.

(т.к.

)

для

и

.

Переходя к пределу в последнем неравенстве при

, получим:

Следствие 1.

Если функция

интегрируема на промежутке

и

, то

.

Действительно:

.

Следствие 2.

Если функция

интегрируема на промежутке

, то

.

Действительно:

.