Материал: Мат. анализ 1

Пусть функция

интегрируема на промежутке

и

, тогда

.

Действительно:

;

.

Пример.

Оценим определенный интеграл

.

Здесь

;

;

;

и

.

Следовательно:

Следствие 3.

Пусть функция

непрерывна на промежутке

и

.

Тогда если

такое, что

, то

.

Доказательство.

Пусть

; по свойству непрерывных функций в некоторой окрестности

точки

значения функции

сохраняют тот же знак (см.

глав 5, §3). Можно

считать, что в некоторой

- окрестности точки

выполняется неравенство:

. По свойству аддитивности имеем:

.

Так как

, то

и

.

Следовательно:

.

Следствие доказано.

Следствие 4.

Пусть функция

непрерывна на промежутке

и

.

Тогда если

, то

.

Действительно: если

, то

такое, что

;

а в этом случае по Следствию 3 имеем:

, что противоречит условию.

3. Неравенство Коши-Буняковского.

Пусть функции

и

интегрируемы на промежутке

. Тогда

132

.

Доказательство.

Для любого действительного числа

имеем:

.

Введем обозначения:

;

;

.

Тогда имеем неравенство:

. Квадратный

трехчлен неотрицателен на всей числовой оси лишь тогда, когда его дискриминант

неположителен:

. Неравенство доказано.

Теорема о среднем значении.

Пусть функция

интегрируема на

;

;

.

Тогда

:

.

Доказательство.

Согласно оценкам определенного интеграла имеем:

.

Введем обозначение:

;

тогда

,

причем

. Теорема доказана.

Частный случай теоремы о среднем значении.

Пусть функция

непрерывна на

. Тогда

:

.

Доказательство.

По доказанной теореме имеем:

,

где

, причем

наименьшее значение

на

,

наибольшее значение

на

.

По теореме Больцано - Коши (см.

глав 5, §4) непрерывная функция на отрезке

функции. Следовательно,

:

.

Тогда получаем:

. Теорема доказана.

Число

называется интегральным средним значением

функции

на промежутке

.

с основанием

и с некоторой «средней высотой»

.

Если функция

интегрируема на промежутке

, то она интегрируема и на

промежутке

, где

любое значение из

:

.

Рассмотрим определенный интеграл от функции

на промежутке

:

который является функцией от

и называется определенным интегралом с

переменным верхним пределом. Введем обозначение:

,

гд

.

Если

, то

функция

задает площадь

переменной фигуры, ограниченной

графиком функции

, осью

и

вертикальными прямыми, проходящими

через точки

и на оси абсцисс.

Отметим некоторые свойства функции

.

Теорема о непрерывности функции

.

Если функция

интегрируема на

, то функция

непрерывна на

.

Доказательство.

134

Пусть

произвольная точка на

; тогда

имеем:

.

Так как

, то

ограниченная функция, т.е.

:

.

Тогда при

имеем:

, а при

имеем:

.

Таким образом,

имеем следующие неравенства:

.

Переходя в последнем неравенстве к пределу при

, получим:

, что означает непрерывность функции

в точке .

Так как

произвольная точка на

, то функция

непрерывна на

.

Теорема доказана.

Теорема Барроу

о дифференцируемости функции

.

Пусть функция

непрерывна на

. Тогда функция

дифференцируема

на

и

.

Доказательство.

Пусть

произвольная точка на

; тогда

имеем:

; по теореме о среднем значении имеем:

, где точка

лежит между точками

и , причем это

равенство справедливо и для

и для

. Тогда

.

Если

, то

, т. к. точка лежит между

и

, при этом

в силу непрерывности функции

.

Тогда получаем равенство:

, которое означает, что

.

Так как

произвольная точка на

, то функция

дифференцируема на

и

.

Теорема доказана.

Доказана формула:

.

Из этой формулы следует, что функция

является

первообразной для

на

. Тем самым доказана теорема о существовании

первообразной для непрерывной функции (см. главу 1, §1): для функции

такой

первообразной будет функция

.

Это следует из равенства:

.

Формула Ньютона - Лейбница.

Теорема.

Пусть функция

непрерывна на

, а

какая-нибудь первообразная

для

на

. Тогда

.

Доказательство.

Так как

непрерывна на

, то функция

также является

первообразной для

на

. Следовательно, функции

и

отличаются на

постоянную величину, как две первообразные для одной и той же функции:

, где

.

Подставим в это равенство

:

.

Подставляя в последнее равенство

, получим:

, или

.

Теорема доказана.

1).

.

2).

.

3).

.

4).

.

5).

.