Материал: Мат. анализ 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

136

6).		.

7).					.

8).			.

9).				.

10).
	.

§ 5. Методы вычисления определенных интегралов.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Для неопределенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид:

Соответствующую формулу получим и для определенного интеграла.

Теорема 1.
Пусть функции				непрерывно дифференцируемы на
промежутке	(т.е.	,	и	,	непрерывны на	).

Тогда справедлива формула:

, или сокращенно:

Доказательство.

		. Формула доказана.
	Примеры.
	1).
	1).

		.
	2).
	2).

		.

137

3). Вычислим интегралы

, где

Получаем рекуррентное соотношение:

При

и имеем:

;

Если

нечетное число, то

Если

четное число, то

Точно такие же результаты получаются и для .

Таким образом, имеем формулы:

если

нечетное

если

четное

Например:

;

Следствием этих формул является приведенная ниже знаменитая формула

Валлиса

Учитывая, что

, проинтегрируем эти

неравенства в промежутке

Применяя формулы для интегралов , получим:

или

138

Здесь число

находится между двумя выражениями, разность между которыми

стремится к

при

Следовательно:

или

формула Валлиса.

Формула Валлиса имеет исторический интерес как первое представление числа

в виде предела легко вычисляемой рациональной последовательности.

Замена переменной в определенном интеграле.

Для неопределенного интеграла формула замены переменной имеет вид:

Соответствующая формула имеет место и для определенного интеграла.

Теорема 2.

Дан определенный интеграл

, где функция

непрерывна на

промежутке

. Пусть функция

определена в некотором промежутке

удовлетворяет следующим условиям:

1) значения функции

не выходят за пределы промежутка

при

2) функция

непрерывно дифференцируема на промежутке

;

Тогда справедлива формула:

Доказательство.

Пусть

первообразная для функции

, тогда

первообразная для функции

. Применим формулу Ньютона - Лейбница.

Формула доказана.

Замечание.

Вычисляя неопределенный интеграл с помощью замены переменной, необходимо возвращаться к старой переменной ; при вычислении определенного интеграла в этом нет надобности.

Пример 4.

139

Определенный интеграл от четной, нечетной и периодической функции.

Рассмотрим определенный интеграл по промежутку ,

симметричному относительно начала координат; используя свойство аддитивности определенного интеграла, разложим его в сумму двух интегралов:

				.
Преобразуем первый из этих интегралов.

		. Тогда получим:
				.
Таким образом, для любой функции			, непрерывной на промежутке		,
имеем следующее равенство:
				.
				.

Если	четная функция, т.е.			, то

Если

нечетная функция, т.е.

, то

Итак, имеем:

для четной функции;

для нечетной функции.

Например:

, так как подынтегральная функция

нечетная, а промежуток интегрирования симметричен относительно начала координат.

								140
Рассмотрим непрерывную периодическую функцию					. Пусть число			-
период функции	, т.е.		. Тогда определенный интеграл от
на любом промежутке с длиной, равной периоду , имеет одно и то же значение:

				.
Действительно:
Действительно:
1)					;
2)

			;
3)					.
Например:
		,						.
		,						.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
В §2 были получены следующие формулы:
(1)						и
(1)						и
(2)							.

С помощью этих формул можно вычислять определенные интегралы как пределы некоторых последовательностей (см. Пример 1 из §2). Однако такой способ вычисления интегралов требует значительных усилий даже для простых функций.

Применение указанных формул, тем не менее возможно, но для решения обратной задачи, а именно: для вычисления пределов последовательностей путем сведения их к определенным интегралам.

Пример 5.
Пусть	,	. Тогда	.
Пусть	,	. Тогда	.
С другой стороны, по формуле (2) имеем:

Таким образом, получаем предел последовательности:

Например:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)