Материал: Мат. анализ 1

;

.

.

Длина дуги пространственной кривой.

Для простой пространственной кривой определение длины дуги дается в таком же виде, как и для плоской кривой, а именно: как предел длин ломаных, вписанных в данную дугу.

В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:

147

.

Замечание.

Во всех приведенных здесь формулах длины дуги предполагалось, что кривая задается уравнениями, в которых функции являются непрерывно дифференцируемыми. Такие кривые называются гладкими кривыми.

Если кривая не является гладкой, то она разбивается на части, каждая из которых является уже гладкой кривой, и вычисляется длина каждой из этих частей. Затем эти длины складываются, и вычисляется длина всей кривой.

§ 2. Вычисление площади плоской фигуры.

Площадь фигуры в прямоугольных декартовых координатах.

Из геометрического смысла определенного интеграла нам известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции где , осью и прямыми и , вычисляется по формуле:

148

По формуле площади фигуры для случая параметрического задания кривой получим:

.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции

149

Формула для площади обобщенной криволинейной трапеции сохранится и в случае, когда нарушено условие неотрицательности: .

Действительно, если вся фигура или какая-то ее часть лежит ниже оси абсцисс, то перемещая ее вверх параллельно оси ординат на единиц, получим фигуру, удовлетворяющую прежним условиям. Следовательно, для новой фигуры можно применять прежнюю формулу:

.

И остается лишь заметить, что при перемещении фигур их площади не изменяются, т.е. площадь заданной фигуры равна площади новой фигуры.

В частности, если верхней границей области является ось абсцисс, то формула для площади примет вид:

.

Понятия «фигура» и «область» здесь и далее следует понимать как синонимы .

.

Обобщенная криволинейная трапеция может быть задана и как область, ограниченная графиками функций , , и прямыми ,

. В этом случае площадь фигуры вычисляется по формуле:

.

150

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной

кривыми , , .

.

Замечание.

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить к каждой ее части уже известные формулы. Затем нужно сложить площади этих частей и получить площадь всей фигуры.

Площадь фигуры в полярных координатах.

Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная линией,