Материал: Мат. анализ 1
141
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Пример 6.
по формуле
.
Пример 7.
по формуле
.
Пример 8.
по формуле
.
Пример 9.
по формуле
.
Пример 10.
по формуле
.
на
142
Глава 6. Приложения определенного интеграла
Содержание
§1. Вычисление длины дуги кривой ……………………………………………………… 143
§2. Вычисление площади плоской фигуры …………..………………………..……… 147
§ 3. Вычисление объема тела ……………………………………………………………… 152
§4. Вычисление площади поверхности ………………………………………………… 157
§5. Вычисление физических величин …………………………………………………… 161
Расчетное задание ………………………………………………………………………… 167
143
§ 1. Вычисление длины дуги кривой.
Пусть на плоскости дана непрерывная кривая без самопересечений. Такую кривую будем называть простой кривой. Введем понятие длины дуги простой кривой.
Разбиваем дугу |
произвольным образом |
||||
точками |
, |
, … , |
, , где |
, |
. |
Соединяя эти точки последовательно |
|
|
|||
прямолинейными отрезками, мы получим |
|
||||
ломаную линию, вписанную в дугу |
. Длина |
|
|||
этой ломаной |
равна сумме длин всех ее сторон. |
||||
Обозначим длину наибольшей из сторон |
|
||||
ломаной через |
: |
|
. |
|
|
Определение.
Длиной дуги кривой называется предел длин ломаных, вписанных в данную дугу, при условии, что стремятся к нулю длины всех сторон этой ломаной (т.е. наибольшая из
этих длин |
): |
. |
Если длина кривой существует, то кривая называется спрямляемой. Обозначения |
||
длины кривой: |
, |
, . Таким образом, имеем: |
|
|
. |
Рассмотрим следующие способы задания кривой:
-явное задание;
-параметрическое задание;
-задание кривой в полярных координатах.
Длина дуги кривой, заданной явным уравнением.
Теорема 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть кривая |
задается уравнением: |
|
|
, где |
непрерывно |
||||||
дифференцируемая функция. Тогда |
|
спрямляемая кривая и справедлива формула: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Разобьем график функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точками , , … , |
, , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, |
|
, |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
пусть |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Длина ломаной, вписанной в эту кривую, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
равна |
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
По теореме Лагранжа |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
представляет собой интегральную сумму для определенного интеграла |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- непрерывна на |
, то |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Теорема доказана. |
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Найти длину дуги кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
, |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Длина дуги кривой, заданной параметрически. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пусть кривая |
|
задана параметрическими уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
, где |
непрерывно дифференцируемые функции. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда |
|
спрямляемая кривая и справедлива формула: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Доказательство проведем для частного случая: |
|
; для |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определенности можно считать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Пусть |
, |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Воспользуемся формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и сделаем замену переменной: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. В результате получим: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Теорема доказана. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Длина окружности радиуса . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Окружность можно задать параметрическими уравнениями: |
|
|
|
|
, |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145 |
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
Длина эллипса |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
Эллипс можно задать параметрическими уравнениями: |
, |
. |
||||
Учитывая симметричность эллипса относительно осей и начала координат, можно вычислить длину лишь одной четвертой части эллипса.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
где |
|
|
|
|
эксцентриситет эллипса, |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Таким образом, длина эллипса выражается через так называемый эллиптический |
||||||||||||||||||
интеграл вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Эллиптические интегралы относятся к числу «неберущихся» интегралов. Для их |
||||||||||||||||||
вычисления имеются специальные таблицы. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Найти длину одной арки циклоиды: |
, |
|
|
. |
|
|||||||||||||
Здесь |
, |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Длина дуги кривой в полярных координатах.
Теорема 3.
Пусть кривая задана уравнением в полярной системе координат:
, |
, где |
непрерывно дифференцируемая функция. |
Тогда |
спрямляемая кривая и справедлива формула: |
|
.