Материал: Мат. анализ 1

156

При вращении обобщенной криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций , где , и прямыми и , получаем тело вращения, объем которого вычисляется по формуле:

Пример 4.

Объем тела, образованного

.

Пример 5.

Найти объем тора.

Тор представляет собой тело, полученное вращением круга радиуса вокруг некоторой оси, находящейся на расстоянии от его центра .

.

157

§ 4. Вычисление площади поверхности.

Площадь поверхности вращения.

Пусть на плоскости даны простая кривая и некоторая ось . Если вращать кривую вокруг этой оси, то она опишет некоторую поверхность вращения.

Если вписать в эту кривую ломаную линию и вращать ее вместе с кривой, то эта ломаная опишет некоторую поверхность. Эта поверхность может быть боковой поверхностью цилиндра, конуса или усеченного конуса, площади которых вычисляются по известным формулам элементарной геометрии.

Если гладкая кривая задана уравнением в полярной системе координат:

, то площадь поверхности вращения вокруг полярной оси вычисляется по

формуле:

158

Аналогичные формулы будут и при вращении кривой вокруг оси .

Пример 1.

Площадь поверхности шарового пояса радиуса и высотой .

пов вращ

.

Таким образом, площадь поверхности шарового пояса радиуса и высотой

пов вращ

.

159

Пример 3.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярной оси кардиоиды:

,.

пов вращ

.

Пример 4.

Площадь поверхности тора.

Тор представляет собой тело, полученное вращением круга радиуса вокруг некоторой оси, находящейся на расстоянии от его центра .

Поверхность тора можно разбить на две поверхности: «ближнюю» и «дальнюю» по отношению к центру тора; эти поверхности получаются вращениями полуокружностей:

поверхность с направляющей и с образующими, параллельными оси .

160

По этой цилиндрической поверхности проведем кривую . Предполагаем, что эта кривая лежит выше направляющей .

Требуется вычислить площадь той части цилиндрической поверхности , которая лежит «под кривой» .

Если вписать в кривую ломаную линию, то соответствующая ломаная будет вписана и в кривую . Соединив соответствующие вершины ломаных линий, получим боковую поверхность некоторой призмы, площадь которой вычисляется по формулам из элементарной геометрии.

Определение.

Площадью цилиндрической поверхности, ограниченной направляющей и кривой , называется предел площади боковой поверхности призмы, построенной на ломаных, вписанных в эти кривые, при стремлении к нулю наибольшей из длин сторон ломаной.

Приведем без доказательства формулы для вычисления площади цилиндрической поверхности при различных способах задания кривых, ограничивающих эту поверхность.

Если цилиндрическая поверхность задана явными уравнениями:

пов

Если цилиндрическая поверхность задана параметрическими уравнениями:

то площадь цилиндрической поверхности вычисляется по

формуле: пов

Пример 5.

Найти площадь цилиндрической поверхности:

.