Материал: Мат. анализ 1

Пример 6.

Найти площадь цилиндрической поверхности:

,

.

.

бок цил

.

бок цил

.

Схема применения определенного интеграла.

Пусть требуется определить некоторую величину

(геометрическую, физическую,

экономическую и т.д.), связанную с промежутком

.

Например, это может быть

аддитивности, т.е. для любого промежутка

и для любой промежуточной

точки

выполнено равенство:

.

Задача состоит в том, чтобы получить формулу для вычисления значения ,

отвечающего всему промежутку

.

Решение поставленной задачи осуществляется по следующей схеме.

1.

Разбиение промежутка

точками

на частичные промежутки:

…

.

Пусть

,

длины частичных промежутков;

ранг разбиения.

При этом

, где

,

162

2. Выбор промежуточных точек

,

,

и подбор

подходящей функции

такой, что

, причем

погрешность этого приближенного равенства должна быть бесконечно малой

более высокого порядка, чем

при

, т.е.

о

,

.

3. Вычисление значения суммы

, которое является

приближенным значением искомой величины

,

где

; при этом

при

.

Действительно:

так как

при

, то и

при

; далее имеем:

, где

при

; переходя к пределу в последнем

неравенстве при

, получим:

при

.

Следовательно:

.

Согласно этой схеме интеграл представляет собой сумму бесконечно

большого числа бесконечно малых величин.

На практике эта схема реализуется в следующей краткой форме.

1) Рассматривается «элементарный промежуток»

, которому

соответствует «элемент»

искомой величины .

2) Из бесконечно малого «элемента»

выделяют главную часть, линейную

относительно

(т.е. дифференциал):

.

Как только это сделано, можно утверждать, что величина

выражается интегралом:

.

Работа переменной силы.

Пусть материальная точка

перемещается под действием силы , направленной

вдоль оси

и имеющей переменную величину

, где

непрерывная

функция, а

абсцисса движущейся точки .

Требуется найти работу

силы по перемещению материальной точки вдоль

оси

из точки

в точку

.

Рассмотрим «элементарный промежуток»

.

Если значение

на

постоянно, то работа силы

вычисляется по

формуле:

.

Если

не постоянно, то значение силы на этом участке можно записать в

виде

, где

при

(ввиду непрерывности функции

).

Тогда работа

силы

на этом участке равна:

.

Следовательно:

.

Статические моменты.

Статическим моментом относительно оси

материальной точки

, имеющей

массу

и отклонение

(с учетом знака) от оси

, называется величина

.

Пусть имеется система

материальных точек с массами

лежащих

в одной плоскости с осью и имеющих отклонения

(с учетом знаков) от этой

оси.

.

В частности, если на плоскости

задана система точек

,

,

… ,

соответственно с массами

, то статическими моментами

этой системы точек относительно осей координат называются суммы:

,

.

,

.

Если кривая

однородна, т.е.

, то

,

.

Пусть плоская фигура является однородной криволинейной трапецией,

ограниченной графиком непрерывной функции

, где

, осью

и прямыми

,

Тогда статические моменты этой фигуры вычисляются по

формулам:

,

.

Если фигура является однородной обобщенной криволинейной трапецией,

ограниченной графиками непрерывных функций

,

, где

и прямыми

,

то статические моменты этой

фигуры вычисляются по формулам:

,

.

Например, для системы точек

,

, … ,

соответственно с массами

статическими моментами относительно

координатных плоскостей называются величины

,

,

:

,

,

.

165

Из этого определения следуют формулы для координат центра тяжести:

,

,

где

масса всей системы.

В частности, для однородной кривой имеем:

,

,

, или:

В случае однородной криволинейной трапеции

получаем:

,

,

,

или:

на этой оси.

Пример 1.

Найти центр тяжести однородной дуги окружности

, расположенной

в первой координатной четверти.

Здесь кривая симметрична относительно

прямой

, поэтому центр тяжести лежит на

этой же прямой:

;

;

,

,

,

. Следовательно:

;

.

Пример 2.

Найти центр тяжести однородного полукруга

,

.