Материал: Мат. анализ 1
171
Титульный лист (образец оформления).
Расчетное задание по Высшей математике
«Приложения определенного интеграла»
Студент _____________ |
Группа _________ |
Оценка: _____
|
|
|
|
|
|
Вариант № ___ |
|
||||||
Задание № 1. |
Вычислить длину |
|
дуги кривой. |
|
|||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Ответ: |
|||||
б) |
|
, |
|
. |
Ответ: |
||||||||
в) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задание № 2. |
Вычислить площадь |
|
|
|
фигуры. |
|
|||||||
а) |
|
|
, |
|
|
. |
Ответ: |
||||||
б) |
|
, |
|
|
|
. |
Ответ: |
||||||
в) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
Ответ: |
||||
Задание № 3. |
Вычислить объем |
тела. |
|
||||||||||
а) |
|
, |
|
|
|
. |
Ответ: |
||||||
б) |
, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|||
172
Глава 7. Несобственные интегралы
Содержание
§ 1. Несобственные интегралы 1 рода |
………………………………………………… 173 |
|||
§ 2. Методы вычисления несобственных интегралов 1 рода |
……..……… 177 |
|||
§ 3. Признаки сходимости для положительных функций |
…………………… 180 |
|||
§ 4. Признаки сходимости для произвольных функций |
……………………… 185 |
|||
§ 5. Несобственные интегралы 2 рода |
………………………………………………… 190 |
|||
§ 6. Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода |
…………… |
195 |
||
§ 7. Исследование сходимости несобственных интегралов ……………… |
198 |
|||
173
Понятие определенного интеграла |
, которое было введено в главе 2, |
|
подразумевает, что промежуток интегрирования |
конечен, а функция |
|
ограничена на |
. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то понятие |
|
определенного интеграла теряет смысл.
Настоящая глава посвящена обобщению понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка и неограниченной функции. В этих случаях интегралы называются несобственными интегралами:
-1 рода (по бесконечному промежутку);
-2 рода (от неограниченной функции).
Вконтексте с несобственными интегралами определенный интеграл теперь можно назвать собственным интегралом.
§ 1. Несобственные интегралы 1 рода.
Пусть функция |
определена на бесконечном промежутке |
и |
|
интегрируема на любом конечном промежутке |
, т.е. существует |
|
|
|
|
|
|
Поставим вопрос о существовании предела:
.
Этот предел может быть конечным или бесконечным, а может и вовсе не существовать.
Определение.
Несобственным интегралом 1 рода от функции называется символ
.
Этот символ имеет конкретное значение, равное пределу , если этот предел существует и конечен:
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
и в этом случае говорят, что несобственный интеграл |
|
сходится. |
||||||||||
В случае бесконечного предела: |
символу |
|
|
|
также приписывают |
|||||||
значение : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
и говорят, что несобственный интеграл |
|
расходится. |
||||||||||
Если предел |
не существует, то и в этом случае говорят, что несобственный |
|||||||||||
интеграл |
расходится, а символу |
|
|
не приписывают никакого |
||||||||
значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т.е. несобственный интеграл сходится и равен |
|
: |
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174 |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. несобственный интеграл сходится и равен |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
несобственный интеграл расходится |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||
этот предел не существует, значит, несобственный интеграл |
|
|
расходится. |
||||||||||||||||
Геометрический смысл несобственного интеграла 1 рода. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Если |
|
|
на |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то несобственный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
равен площади |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
бесконечной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(неограниченной справа) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
криволинейной трапеции, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ограниченной графиком |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функции |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прямой |
и осью абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При этом сходящийся несобственный интеграл задает конечную площадь, а |
|
||||||||||||||||||
расходящийся |
|
|
бесконечную площадь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично определяются несобственные интегралы 1 рода от функции |
на |
||||||||||||||||||
промежутках |
|
|
и |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
||
В последнем случае переменные |
и стремятся к |
независимо друг от друга. |
|||||||||||||||||
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Несобственный интеграл |
|
|
можно рассматривать как сумму |
|
|||||||||||||||
несобственных интегралов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
произвольное число. |
|
||||
Тогда сходимость несобственного интеграла |
|
означает сходимость |
|||||||||||||||||
обоих слагаемых интегралов. В случае расходимости хотя бы одного из этих слагаемых
несобственный интеграл |
также считается расходящимся. |
Примеры. |
|
175
5)
несобственный интеграл сходится и равен : .
6)
несобственный интеграл сходится и равен : |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Исследование сходимости несобственного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
, где |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
При |
|
данный несобственный интеграл расходится; действительно: |
|
||||||||||||||||
|
|
Пусть |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
Если |
|
, то |
|
и |
|
при |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в этом случае несобственный интеграл сходится и |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Если |
|
, то |
|
и |
|
при |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в этом случае несобственный интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, получаем:
сходится при
расходится при
Геометрический смысл этого результата заключается в следующем.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь бесконечной криволинейной трапеции «под кривой» |
|
на |
|||||||
|
|||||||||
промежутке |
является конечной при |
|
|
и бесконечной при |
. |
|
|||