Материал: Мат. анализ 1
166
Здесь |
; |
; |
;
; .
Сравним формулы, выражающие площадь поверхности вращения некоторой кривой , объем тела вращения некоторой фигуры вокруг оси (см. §3 и §4) и ординату центра тяжести:
|
|
пов |
вращ |
, |
|
|
, |
||
|
|
|
|||||||
|
|
т |
в |
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Из этих формул следует: |
|
|
|
||||
1) |
пов |
вращ |
- это произведение длины кривой на длину окружности, |
||||||
описанной центром тяжести кривой. |
|
|
|
||||||
2) |
т |
в |
|
- это произведение площади фигуры на длину окружности, |
|||||
описанной центром тяжести кривой. |
|
|
|
||||||
Таким образом, приходим к следующим теоремам Гульдена.
Пусть имеется дуга плоской кривой и ось, лежащая в той же плоскости и не пересекающая эту кривую.
Первая теорема Гульдена.
Площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг оси, равна произведению длины дуги кривой на длину окружности, описанной центром тяжести дуги кривой.
Пусть имеется плоская фигура и ось, лежащая в той же плоскости и не пересекающая эту фигуру.
Вторая теорема Гульдена.
Объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси, равна произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
В §§ 3 и 4 были получены формулы для объема и площади поверхности тора:
тора |
, |
пов тора |
. |
167
Теперь эти формулы можно получить из теорем Гульдена.
Действительно, так как центр тяжести окружности совпадает с ее центром, то
длина окружности, описанной центром тяжести, равна |
; длина вращаемой |
|
окружности равна |
, а площадь вращаемого круга равна |
. |
Поэтому получаем:
тора
пов тора
;
.
По данной теме предполагается выдача расчетного задания.
Расчетное задание: «Приложения определенного интеграла».
1. |
Вычислить длину дуги кривой, заданной: |
|
|
а) графиком функции в декартовой системе координат; |
|
|
б) параметрическими уравнениями; |
|
|
в) в полярной системе координат. |
|
2. |
Вычислить площадь |
фигуры, ограниченной линиями, заданными: |
|
а) графиками функций в декартовой системе координат; |
|
|
б) параметрическими уравнениями; |
|
|
в) в полярной системе координат. |
|
3. |
Вычислить объем |
тела: |
а) ограниченного поверхностями; б) образованного вращением фигуры вокруг оси.
Ниже приведены примерные варианты заданий |
. |
168
1. Длина дуги кривой.
№ |
а |
б |
в |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
169
2. Площадь плоской фигуры.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
а |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
в |
||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170
3. Объем тела.
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
б |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
, |
, |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
, |
, |
, |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
, |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
, |
, |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
, |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
10 |
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже приведен образец оформления титульного листа.
Все необходимые расчеты и рисунки выполняются на отдельных листах.