Материал: Мат. анализ 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

						181
Пусть		, где	некоторое число,		.	Тогда
1)	из сходимости	следует сходимость			;
2)	из расходимости	следует расходимость			.
Доказательство.
1)	Пусть	сходится и	.	Тогда	имеем
неравенства:					.
Это означает ограниченность значений определенных интегралов от функции						:
			.
Следовательно,		сходится и значит,		также сходится.
2)	Пусть	расходится. Надо доказать, что				расходится.
Предположим, что это не так, т.е.			сходится.	Так как
	, то по доказанному пункту 1) должен сходиться и				, а это не так.
Следовательно,		расходится. Теорема доказана.

Замечание 1.

Из доказательства теоремы получаем оценку для несобственного интеграла:

Пример 1.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Здесь

сходится, т.к.

Согласно первому признаку сравнения несобственный интеграл

сходится.

Несобственный интеграл

можно оценить сверху:

;

Пример 2.

Следовательно:

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Здесь

; так как

, то

Далее имеем:

расходится.

182

Согласно первому признаку сравнения несобственный интеграл также расходится.

Теорема 2 (второй признак сравнения).

Пусть

и существует предел

Тогда оба интеграла

сходятся или оба интеграла

расходятся, т.е. если один из них сходится, то и другой сходится, а если один из них

расходится, то и другой расходится.

Доказательство.

такое, что

Так как

, то можно подобрать число

так, чтобы

, т.е.

Если

сходится, то и

сходится (по первому

признаку сравнения); тогда по свойству линейности сходится и

, который

получен из

умножением на число

Если

сходится, то и

сходится (по свойству

линейности); тогда по первому признаку сравнения сходится и

Пусть

расходится. Надо доказать, что и

расходится.

Предположим, что

сходится; тогда по уже доказанному пункту должен

сходиться и

, а это не так. Следовательно,

расходится.

Пусть

расходится. Надо доказать, что и

расходится.

Предположим, что

сходится; тогда по уже доказанному пункту должен

сходиться и

, а это не так. Следовательно,

расходится.

Теорема доказана.

Замечание 2.

Для применения признаков сравнения можно использовать «эталонные»

интегралы вида:
		,
		,
которые сходятся при	и расходятся при	.

183

Пример 3.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Здесь

при

Следовательно, в качестве «эталонного» интеграла можно рассмотреть

который сходится, т.к.

Итак, имеем:

при

, т.е.

, где

Так как

сходится, то по второму признаку сравнения и

сходится. Следовательно, и

также сходится.

Пример 4.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Здесь

при

Следовательно, в качестве «эталонного» интеграла можно рассмотреть

который расходится, т.к.

Итак, имеем:

при

, т.е.

, где

Так как

расходится, то по второму признаку сравнения и

расходится.

Следовательно, и

также расходится.

Пример 5.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

, где

Рассмотрим функцию

; известно, что

(это можно

показать по правилу Лопиталя).

Следовательно:

такое, что

Итак, имеем:

. Так как

сходится, то по

первому признаку сравнения сходится и

Следовательно,

также сходится.

Замечание 3.

184

Все, что сказано в этом параграфе для положительных функций, можно перенести и для отрицательных функций (но только нельзя для знакопеременных функций).

Действительно, если функция отрицательна, то функция уже положительна и для нее справедливы утверждения о сходимости и расходимости несобственных интегралов. Далее по свойству линейности сходимость интеграла от функции равносильна сходимости интеграла от функции .

Несобственный интеграл 1 рода от рациональной функции.

Рассмотрим несобственный интеграл от рациональной функции:

		,	,

где многочлен	не имеет корней на промежутке		.

Для достаточно больших подынтегральная функция сохраняет определенный знак. Поэтому можно считать (в случае надобности изменяя знак), что при некотором ,

где	, выполняется неравенство:			.
где	, выполняется неравенство:			.
	Следовательно, для несобственного интеграла				можно применить
	Следовательно, для несобственного интеграла				можно применить
признаки сравнения.
	Пусть	,	; тогда имеем:
	Пусть	,	; тогда имеем:

, где

при

Согласно второму признаку сравнения, сходимость интеграла от функции

равносильна сходимости интеграла от функции

, а по свойству

линейности это равносильно сходимости интеграла от функции

Таким образом, несобственный интеграл

, а значит, и

сходятся, если

, т.е.

(учитывая целочисленность показателей

степени); при

, т.е. при

, несобственные интегралы расходятся.

Например:

- несобственный интеграл

расходится

;

- несобственный интеграл

сходится

§ 4. Признаки сходимости для произвольных функций.

185

В предыдущем параграфе рассматривались признаки сходимости (признаки
сравнения) несобственных интегралов 1 рода		от положительных (или
отрицательных) функций	.
Если функция	, хотя бы начиная с какого-то места		, имеет значения
одного знака « » или « » , то на промежутке		эта функция является

положительной (или отрицательной), и для исследования сходимости несобственного

интеграла		, а значит и	, также можно применять признаки
сравнения.
	Если же подынтегральная функция не сохраняет знак ни на каком промежутке вида
	, где	, то эти признаки сходимости уже не применимы.
	В этом параграфе рассматриваются несобственные интегралы 1 рода				,
где функция		является знакопеременной при		, т.е. на любом промежутке
вида	, где	, функция	меняет знак (как, например, функция		или
	).
Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
Определение.
	Несобственный интеграл		называется абсолютно сходящимся,
если сходится несобственный интеграл			.
Замечание 1.
	Для положительных функций		понятие сходимости несобственного интеграла
от этих функций совпадает с понятием абсолютной сходимости, т.к.					.
Теорема 1.
	Абсолютно сходящийся несобственный интеграл			сходится.
Доказательство.
	Имеем неравенства:
					.
	Так как интеграл		сходится, то по свойству линейности интеграл
		также сходится.
	Для положительных функций		и	можно применить первый
признак сравнения о сходимости несобственных интегралов:
		сходится		сходится.
	Так как		, то из сходимости интегралов

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)