Материал: Мат. анализ 1

и

по свойству линейности следует

сходимость интеграла

. Теорема доказана.

Теорема 2.

Пусть

, где

. Тогда

если несобственный интеграл

сходится, то

несобственный интеграл

сходится абсолютно.

Доказательство.

Для положительных функций

и

можно применить первый признак

сравнения о сходимости несобственных интегралов:

сходится

сходится. Тогда по Теореме 1

несобственный интеграл

сходится абсолютно. Терема доказана.

Теорема 3.

Имеется несобственный интеграл

, где

ограниченная функция на промежутке

.

Пусть несобственный интеграл

сходится абсолютно. Тогда

несобственный интеграл

также сходится абсолютно.

Доказательство.

Так как

ограниченная функция, то

для

некоторого числа

.

Далее имеем:

;

сходится

сходится

сходится

сходится абсолютно. Теорема доказана.

Пример 1.

Покажем, что

,

сходятся абсолютно

.

Действительно:

;

сходится, т.к.

; по Теореме 2

сходится абсолютно.

Аналогично и для интеграла

.

Пример 2.

Покажем, что несобственные интегралы:

,

, где

,

,

,

сходятся абсолютно.

Это также можно показать по Теореме 2, но можно и по Теореме 3:

,

или

;

сходится при

(см. § 1);

ограниченная функция на промежутке

.

Следовательно:

или

сходится абсолютно.

Условная сходимость несобственных интегралов.

Определение.

Несобственный интеграл

называется условно сходящимся,

если он сходится, а несобственный интеграл

расходится.

Примерами условно сходящихся несобственных интегралов будут интегралы

Дирихле:

Покажем это.

,

,

где

.

Применим к этим интегралам формулу интегрирования по частям.

;

.

Несобственные интегралы

и

сходятся (абсолютно),

поэтому интегралы Дирихле сходятся.

Покажем, что абсолютной сходимости этих интегралов нет, т.е. что интегралы

,

расходятся.

Рассмотрим интеграл

.

, то по первому

Предположим, что он сходится. Так как

признаку сравнения сходится и интеграл

;

кроме того, по доказанному выше сходится и интеграл

.

188

Тогда сумма двух сходящихся интегралов тоже должна сходиться:

, но интеграл

, как

расходится. Аналогично доказывается, что

расходится.

Итак, доказано, что интегралы Дирихле сходятся условно.

Очевидно, что сходятся условно и интегралы:

,

,

где

,

,

.

Замечание 3.

Вместо интеграла

, где

можно рассмотреть интеграл

, который также сходится условно. Действительно:

,

а интеграл

является собственным (определенным) интегралом, так как

подынтегральная функция

ограничена на

.

функции интегральный синус

и интегральный косинус

:

,

,

.

Значения этих функций задаются в специальных таблицах.

Условная сходимость некоторых несобственных интегралов вида

может быть установлена с помощью признаков Абеля и Дирихле,

которые мы приведем без доказательства.

Теорема 3 (признак Абеля).

Пусть выполнены следующие условия:

1)

несобственный интеграл

сходится (условно или абсолютно);

2)

функция

монотонна и ограничена на промежутке

.

Тогда несобственный интеграл

сходится.

Теорема 4 (признак Дирихле).

Пусть выполнены следующие условия:

1)

интегралы

ограничены при

;

2)

функция

монотонна и стремится к нулю при

.

Тогда несобственный интеграл

сходится.

189

Замечание 5.

В признаке Дирихле условие (1) более слабое, чем в признаке Абеля, так как в

нем не требуется сходимость несобственного интеграла

; но условие (2)

более сильное, так как вместо ограниченности функции

требуется стремление ее к

нулю.

Пример 3.

Рассмотрим несобственные интегралы:

,

, где

,

,

,

.

Применим признак Дирихле.

Здесь

или

,

;

при

.

или

.

;

интегралы

ограничены при

; аналогично для

.

По признаку Дирихле эти интегралы сходятся. Покажем, что они сходятся условно.

Так как

, то

. Далее имеем:

расходится

расходится; по первому признаку

сравнения

расходится; аналогично и для

.

Таким образом, эти несобственные интегралы сходятся условно.

Можно показать (см. например,

), что при

несобственные интегралы:

,

расходятся.

Пусть функция

определена на промежутке

и не ограничена на нем.

Предположим, что единственной особой точкой на этом промежутке является правый

конец промежутка - точка . При этом считаем, что на любом промежутке вида

,

где - достаточно малое положительное число, функция

интегрируема.

Рассмотрим определенный интеграл

и поставим вопрос о

существовании предела:

,

и в этом случае говорят, что несобственный интеграл

сходится.

В случае бесконечного предела:

символу

также приписывают

значение :

, и говорят, что несобственный интеграл

расходится.

Если предел

не существует, то и в этом случае говорят, что несобственный

интеграл

расходится, а символу

не приписывают никакого