Материал: Мат. анализ 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

196

;

2) из расходимости

следует расходимость

Пример 1.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Здесь

- положительная функция на

- особая точка,

; несобственный интеграл

сходится

(см. Пример 9 из §5). По первому признаку сравнения несобственный интеграл

также сходится.

Теорема 2 (второй признак сравнения).

Пусть

и существует предел

Тогда оба интеграла

сходятся или оба интеграла

расходятся, т.е. если один из них сходится, то и другой сходится, а если один из них

расходится, то и другой расходится.

Пример 2.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Здесь

- положительная функция на

- особая точка;

при

;

- сходится; по второму признаку сравнения несобственный интеграл

- также сходится.

Признаки сходимости для произвольных функций.

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода

, где функция

является знакопеременной при

, т.е. на любом промежутке вида

, где

, функция

меняет знак.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Определение.

Несобственный интеграл

называется абсолютно сходящимся,

если сходится несобственный интеграл

197

Теорема 3.

Абсолютно сходящийся несобственный интеграл

сходится.

Теорема 4.

Пусть

Тогда

если несобственный интеграл

сходится, то

несобственный интеграл

сходится абсолютно.

Теорема 5.

Имеется несобственный интеграл

где

ограниченная функция на промежутке

Пусть несобственный интеграл

сходится абсолютно. Тогда

несобственный интеграл

также сходится абсолютно.

Пример 3.

Несобственные интегралы

, где

сходятся

абсолютно.

Действительно, по Теореме 4 имеем:

;

- сходится при

(см. § 5).

Следовательно,

сходится абсолютно; аналогично и для

Условная сходимость несобственных интегралов.

Определение.

Несобственный интеграл

называется условно сходящимся, если он

сходится, а несобственный интеграл

расходится.

Примеры условно сходящихся несобственных интегралов 2 рода:

где

(здесь особой точкой является левый конец промежутка - точка

Действительно, сделав замену переменной, получим:

этот

интеграл сходится условно (см. §4).

Аналогично и с интегралом

198

§ 7. Исследование сходимости несобственных интегралов.

Рассмотрим примеры на исследование сходимости несобственных интегралов.

Пример 1.

несобственный интеграл от положительной функции

одновременно 1 и 2 рода, так как промежуток интегрирования - бесконечный, а подынтегральная функция - неограниченная ( - особая точка).

Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка и исследуем каждый из полученных несобственных интегралов:

при

;

сходится

также сходится (II признак сравнения).

при

;

сходится

также сходится (II признак

сравнения).

сходятся

сходится.

Пример 2.

несобственный интеграл одновременно 1 и 2 рода, так как

промежуток интегрирования - бесконечный, а подынтегральная функция -

неограниченная (

- особая точка).

Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка и исследуем каждый из

полученных несобственных интегралов:

несобственный интеграл 1 рода от положительной функции,

при

;

сходится, по признаку сравнения

также сходится.

несобственный интеграл 2 рода от знакопеременной функции -

сходится абсолютно, так как

сходится.

сходятся

сходится.

199

Пример 3.

несобственный интеграл 1 рода от отрицательной функции с двумя

особыми точками:

. Разобьем промежуток интегрирования на два

промежутка и исследуем каждый из полученных несобственных интегралов:

при

;

сходится (см. Пример 8 из

§5)

сходится (по признаку сравнения).

;

ограниченная функция на промежутке

собственный

интеграл, значит, он сходится.

и	сходятся		сходится.

Пример 4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл		, т.е. найдем

все значения параметра , при которых данный несобственный интеграл сходится.

несобственный интеграл от положительной функции одновременно 1 и 2

рода, так как промежуток интегрирования - бесконечный, а подынтегральная функция -

неограниченная (

- особая точка).

Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка и исследуем каждый из

полученных несобственных интегралов:

при

;

сходится при

, т. е. при

, и расходится при

, т. е. при

Следовательно,

также сходится при

и расходится при

при

;

сходится при

расходится при

Следовательно,

также сходится при

и расходится при

Итак,

сходится при

, а

сходится при

. Следовательно,

несобственный интеграл

сходится при

200

Пример 5.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Представим

в виде суммы двух интегралов

, где

Если

, то

собственный интеграл; если

, то

несобственный

интеграл 2 рода с единственной особой точкой

;

при

;

сходится при

, т.е.

при

, и расходится при

, т.е. при

Следовательно,

также сходится при

, и расходится при

несобственный интеграл 1 рода; известно, что

; значит, существует число

такое, что

;

сходится,

значит, сходится и

при любом значении .

Следовательно,

сходится при

Замечание.

Функция

называется гамма - функцией, которая имеет широкое

применение в теории вероятностей, математической статистике и в самом

математическом анализе. Здесь мы нашли область определения гамма - функции:

Пример 6.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

При

особой точкой будет

, а при

особой точкой будет

Пусть

где

при

(если

);

сходится при

, т.е. при

, и расходится при

при

(если

);

сходится при

, т.е. при

, и расходится при

Итак,

сходятся при

Следовательно, и

сходится при

Замечание.

Функция

называется бета - функцией; она связана с гамма - функцией

следующей формулой:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)