Материал: Мат. анализ 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

191

особая точка

несобственный интеграл сходится и равен

я т

несобственный интеграл сходится и равен .

Геометрический смысл несобственного интеграла 2 рода.

Если

на

, то несобственный

интеграл

равен площади бесконечной

(неограниченной сверху) криволинейной трапеции,

ограниченной графиком функции

, прямыми

,и осью абсцисс.

При этом сходящийся несобственный интеграл задает конечную площадь, а расходящийся бесконечную площадь.

Если оба конца промежутка являются особыми точками, то разбиваем этот промежуток на два промежутка произвольной точкой :

и рассматриваем несобственный интеграл с двумя особыми точками как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой:

Тогда несобственный интеграл

называется сходящимся, если сходятся

оба слагаемых этой суммы. Если же хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то

несобственный интеграл

называется расходящимся.

Пример 3.

ы т

Рассмотрим первое слагаемое:

1| 0,5=

расходится

1 1 =

несобственный интеграл

также расходится.

Если имеется единственная особая точка

, которая лежит внутри промежутка

, то также разбиваем этот промежуток на два промежутка:

192

и рассматриваем несобственный интеграл как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой :

Тогда несобственный интеграл

называется сходящимся, если сходятся

оба слагаемых этой суммы. Если же хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то

несобственный интеграл

называется расходящимся.

Примеры.

особая точка

Рассмотрим второе слагаемое:

расходится

несобственный интеграл

также расходится.

особая точка

Рассмотрим первое слагаемое:

Рассмотрим второе слагаемое:

Оба слагаемых сходятся, следовательно, несобственный интеграл

сходится и равен

Если имеется несколько особых точек, то разбиваем промежуток

на

промежутки, в каждом из которых есть только одна особая точка, и рассматриваем несобственный интеграл как сумму несобственных интегралов по каждому из этих промежутков.

Тогда несобственный интеграл

называется сходящимся, если сходятся

все слагаемые этой суммы. Если же хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то

несобственный интеграл

называется расходящимся.

Исследование сходимости несобственного интеграла

, где

При

данный несобственный интеграл расходится; действительно:

Пусть

, тогда

193

Если	, то	и		при	;
в этом случае несобственный интеграл					расходится.
в этом случае несобственный интеграл					расходится.
Если	, то	и		при	; в этом случае несобственный
интеграл сходится и			.
интеграл сходится и			.
Таким образом, получаем:					сходится при
					сходится при

расходится при

Геометрический смысл этого результата заключается в следующем.

Площадь бесконечной криволинейной трапеции «под кривой»

на

промежутке

является конечной при

и бесконечной при

Это различие объясняется тем, что графики одних функций «теснее

прижимаются» к оси ,

чем графики других функций.

«Границей» между этими множествами кривых является график функции

который ограничивает криволинейную трапецию бесконечной площади.

Пример 6.

Площадь

криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции

где

, на промежутке

(см. рисунок).

Например:

194

Простейшие свойства несобственных интегралов 2 рода.

Несобственные интегралы 2 рода обладают теми же свойствами, что и несобственные интегралы 1 рода. Сформулируем эти свойства, например, для случая,

когда единственной особой точкой является правый конец промежутка				, т.е. точка .
1. Аддитивность.
Если сходится несобственный интеграл		, то		сходится и
несобственный интеграл	, при этом выполняется равенство:
		.
2. Линейность.
Если сходятся несобственные интегралы		и		, то сходятся и
несобственные интегралы		,	, при этом
справедливы равенства:
				.
3. Если несобственный интеграл		сходится, то
		.

Методы вычисления несобственных интегралов 2 рода.

Вычисление несобственных интегралов 2 рода основано на тех же формулах, что и вычисление несобственных интегралов 1 рода.

Формула Ньютона-Лейбница.

					,

где	первообразная для функции		на	и	.
Пример 7.
	здесь	особая точка				.

Интегрирование по частям.

Пример 8.

	здесь	особая точка

195

правило

Лопиталя

Замена переменной.

Пример 9.

здесь				особая точка


				.

§ 6. Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода.

В случае, когда вычисление несобственного интеграла 2 рода невозможно или затруднительно, для решения вопроса о существовании (сходимости) этого несобственного интеграла применяются признаки сходимости.

Признаки сходимости для несобственных интегралов 2 рода аналогичны признакам сходимости несобственных интегралов 1 рода.

Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы 2 рода

, где точка является единственной особой точкой промежутка .

Утверждения, которые будут установлены для них, переносятся и на другие типы несобственных интегралов 2 рода.

Признаки сходимости для положительных функций.

Пусть	(или, по крайней мере			, где -
достаточно малое положительное число).
Сходимость несобственного интеграла			от положительной функции
равносильна ограниченности соответствующих определенных интегралов:
	сходится	:		.

Признаки сравнения.

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода от положительных функций:

,	,	где	,		.
Теорема 1 (первый признак сравнения).
Пусть	.	Тогда
1) из сходимости	следует сходимость			и справедлива оценка:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)