Материал: Мат. анализ 1

Рассматривается функция

непрерывная в точке и

дифференцируемая в проколотой окрестности

, т.е. для функции

существует

конечная производная

.

Теорема 1 (достаточные условия экстремума по первой производной).

Пусть

критическая точка функции

, а производная

сохраняет знак

в некоторой окрестности

(слева от точки

) и в

(справа от точки

).

Тогда:

1) если производная

при переходе через точку

меняет знак

на

,

то

точка максимума функции;

2) если производная

при переходе через точку

меняет знак

на

,

то

точка минимума функции;

3) если производная

при переходе через точку

не меняет знака,

то

не является точкой экстремума функции.

1)

(строго) на

и

(строго) на

и

точка

- а.

2)

(строго) на

и

(строго) на

и

точка

- а.

62

3)

(строго) на

и

(строго) на

(строго) на

или

(строго) на

и

(строго) на

(строго) на

.

В любом случае

не является точкой экстремума функции.

Теорема доказана.

промежутке имеется конечное число критических точек:

. Ведь тогда

на каждом интервале

функция

дифференцируема и ее производная

сохраняет в нем постоянный знак.

Пример 1.

Найти экстремумы функции

.

.

Так как функция

везде дифференцируема, то все критические точки это

стационарные точки функции, т.е. корни уравнения

.

Стационарными точками будут:

;

;

.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы:

,

,

,

.

Расставим знаки производной в каждом интервале (см. рис.)

Из этой картинки ясно, что

- точка

- а;

- точка

- а;

- не является точкой экстремума.

Найдем значения максимума и минимума:

;

.

Пример 2.

Найти экстремумы функции

.

Здесь

. Критические точки:

;

.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы:

,

,

.

Расставляем знаки производной в каждом интервале (см. рис.)

Из рисунка видно, что

- точка

- а;

- точка

- а.

Найдем значения максимума и минимума:

;

.

Ответ:

;

.

Рассматривается функция

дифференцируемая в некоторой окрестности

, т.е. для функции

существует конечная производная

.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума по второй производной).

Пусть

стационарная точка функции

, т.е.

, пусть

.

Тогда:

1) если

,

то

точка максимума функции;

2) если

,

то

точка минимума функции.

Доказательство.

1)

.

По свойству пределов функций (см. [9], глава 4, §2)

указанное неравенство верно и

для всех точек

из некоторой проколотой окрестности

точки

:

.

Тогда при

выполняется неравенство

, а при

неравенство

, т.е.

,

.

Это значит, что при переходе через точку

производная

меняет знак

на

.

Согласно Теореме 1

точка

максимума функции.

Аналогично доказывается пункт 2). Теорема доказана.

Пример 3.

Найти экстремумы функции

на промежутке

.

Здесь

; найдем стационарные точки:

,

стационарные точки.

;

точка

- а;

точка

- а;

Ответ:

;

.

Замечание.

В случае

и

вопрос о наличии экстремума в точке

остается открытым. В этом случае возможны разные варианты:

может быть точкой

экстремума, а может и не быть. Например, для функций

и

в точке

Задача. На кривой

найти точку

, ближайшую к началу координат.

Пусть

; расстояние от начала

координат до точки

равно:

.

Для решения задачи надо найти точку

, для которой

величина принимает наименьшее значение.

Для удобства вычислений вместо величины

введем величину

.

Ясно, что когда величина

принимает наименьшее значение, тогда и величина

принимает наименьшее значение и наоборот.

Для новой функции

применим необходимые и достаточные условия

экстремума. Вычислим первую и вторую производные функции

:

;

.

Тогда для искомой точки

должны выполняться условия:

.

Пример 4.

На параболе

найти точку, ближайшую к началу координат.

Здесь

,

,

.

Составим систему

:

.

Из уравнения системы находим его корни:

,

.

выясняем, что подходят лишь значения

,

при этом

.

Рассматривается функция

раз дифференцируемая в точке .

Теорема 3 (достаточные условия экстремума по производным высших порядков).

Пусть

, а

. Тогда:

1) если

четное число, то

точка экстремума функции, а именно:

при

точка максимума;

при

точка минимума;

2) если

нечетное число, то

не является точкой экстремума.

Доказательство.

Для функции

составим формулу Тейлора

-го порядка с остаточным членом в

Так как

, то получаем формулу:

Пусть

, тогда

при

и

.

Теперь формула Тейлора запишется в виде:

, где

,

при

.

Так как

при

, то по свойству пределов функций (см. [9], глава

4, §2) выражение

будет иметь в некоторой окрестности

тот же знак, что

и знак , т.е. знак

:

,

.