Материал: Мат. анализ 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

;

6.2.

;

при

;

Ниже будут выведены формулы для производных функций

, а также

обратных тригонометрических функций.

Замечание.

Все

рассмотренные выше основные

элементарные функции

имеют

конечные

производные в любой точке из области определения этих функций за единственным исключением: производная степенной функции при в точке равна .

		§ 3.	Понятие дифференцируемости.
	Дана функция		с областью определения и		. Предполагается,
что		, или	или	при некотором		.
	Пусть	,	- приращение аргумента;				-
приращение функции.
Определение.		Функция	называется дифференцируемой в точке			,	если ее
приращение		может быть представлено в виде:
				,
где	некоторое число, не зависящее от , а			при	.
	Или иначе: функция		называется дифференцируемой в точке			,	если ее
приращение		может быть представлено в виде суммы 2-х бесконечно малых функций:
1) линейной относительно			и 2) бесконечно малой более высокого порядка, чем				, т.е.
			при	.
Замечание.
	Число	(коэффициент линейной части приращения			) не зависит от		, но
может зависеть от точки			. При этом если	, то, как известно, величина
является главной частью приращения :				при	(см. , глава 4, §9).
Пример.		,	;
					;

								12
здесь	,		,		,		;	;
Следовательно, функция				дифференцируема в точке				.
Теорема (критерий дифференцируемости).
Для того чтобы функция				была дифференцируемой в точке				, необходимо и
достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную:
	дифференцируема в точке					и конечна.
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция				дифференцируема в точке			, т.е.
	,	где		,		при	; тогда
, где			при	;	следовательно,
	, т.е.		.
Достаточность.	Пусть				;	тогда
, где			при	;
умножая обе части равенства на			, получим:
	,	где		,		при	;
следовательно, функция		дифференцируема в точке .
Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что дифференцируемость функции в заданной точке равносильна наличию конечной производной функции в этой точке.

Все рассмотренные в §5 основные элементарные функции дифференцируемы в любой точке из области определения этих функций за единственным исключением:

степенная функция				при	в точке	не дифференцируема, так как ее
производная в этой точке равна .
	Примером не дифференцируемой функции является также функция
			если	,	которая не дифференцируема в точке			: в этой
			если
		если
		если
точке производная не существует (см. Пример 5 из §1).
	В дальнейшем термин				дифференцирование	функции будет означать процесс
нахождения ее производной.
Замечание.
	Из доказательства теоремы следует, что если функция						дифференцируема в
точке , то ее приращение в этой точке выражается равенством:
						,
						,

где	при			. В дальнейшем дополнительно будем считать, что				.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция

дифференцируема в точке

, то она и непрерывна в точке .

Доказательство.

Если функция

дифференцируема в точке

, то

где

некоторое число, не зависящее от

, а

при

. Тогда

, т.е. имеем:

при

а это означает непрерывность функции

в точке

(см.

, глава 5, §1).

Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно: из непрерывности функции

в точке

не

следует ее дифференцируемость в этой точке.

Например, функция

непрерывна в точке

, но она в этой точке не

дифференцируема, т.к.

не существует (см. §1).

Другим примером непрерывной, но не дифференцируемой функции будет

если

; эта функция не дифференцируема в точке

, но она

если

непрерывна в этой точке, т.к.

(т.к.

произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая).

	§ 4.		Правила вычисления производных.
Теорема 1.
Пусть функции			,		дифференцируемые функции,							.
Тогда дифференцируемы также функции					,	,		,		,	и справедливы
следующие правила:
1.			,
(постоянный множитель можно вынести за знак производной);
2.			,
(производная суммы и разности равна сумме и разности производных);
3.			.
Если		, то дифференцируемы также функции					,		и справедливы равенства:
Если		, то дифференцируемы также функции					,		и справедливы равенства:
4.	.
4.	.
5.				.
5.				.

Доказательство.
1. Пусть	; тогда
	;

				14
			, т. е.	. Правило 1 доказано.
2. Пусть	;	тогда	, т. е.	. Правило 1 доказано.
2. Пусть	;	тогда
				;
			, т. е.	.
			, т. е.	.
Аналогично для функции			. Правило 2	доказано.
3. Пусть	;	тогда
				;

;

так как (из непрерывности дифференцируемой функции), то получим: , т.е. .

Правило 3	доказано.
4. Пусть		; тогда

;

							, т. е.		.
Правило 4 доказано.							, т. е.		.
Правило 4 доказано.
5.			; по формулам 3 и 4 имеем:
5.			; по формулам 3 и 4 имеем:
					. Правило 5	доказано.
Примеры.					. Правило 5	доказано.
Примеры.
1)	;									;
1)	;

2)		;									.



								.

				,
				,

Производная сложной функции.

Рассмотрим	сложную		функцию		,	которая является
композицией функций:		,		.
Теорема 2. Пусть функция		дифференцируема в точке			, а функция
дифференцируема в точке		, где		. Тогда сложная функция
дифференцируема в точке		и справедливо следующее равенство (правило цепочки):
				.
Доказательство.
Из дифференцируемости функции				имеем равенство:
			,	где	при	.
Тогда					;
Тогда					;
Из дифференцируемости функции				следует:
	и	(ввиду непрерывности дифференцируемой функции),
тогда и	при	.	Переходя к пределу при		, получим:
						.
Теорема доказана.

Замечание. При вычислении производных правило цепочки удобно записывать в виде:

		,

подробнее:	.

Примеры.

1);

2) ;

3);

Правило цепочки остается в силе, если сложная функция является композицией

более чем 2-х функций. Например, для композиции 3-х функций имеем:
,	;		.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)