Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

P(E) = mn ,

где E – искомое событие, n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события E.

Для события A имеем: n = 9 – число карточек, содержащих буквы слова «ЭКОНОМИКА»; m = 1 – число карточек, содержащих букву «М». Тогда вероятность события A:

P( A) = 91 .

Для события B при условии, что событие A произошло, имеем: n = 8 – число карточек, оставшихся после того, как одну карточку вынули; m = 2 – число карточек, содержащих букву «О». Тогда – вероятность события B при условии, что произошло событие A:

P(В | A) = 82 .

Для события C, при условии, что события A и B произошли, имеем: n = 7 – число карточек, оставшихся после того, как две карточки вынули; m =1 – число карточек, содержащих букву «Н». Тогда, вероятность события C при условии, что произошли события A и B:

P(C | AB) = 17 .

Для события D при условии, что события A, B и C произошли, имеем: n = 6 – число карточек, оставшихся после того, как три кар-

36

точки вынули; m = 1 – число карточек, содержащих букву «О» (одну из двух имеющихся первоначально карточек, содержащих букву «О» уже вынули, а обратно карточки не возвращают). Тогда вероятность события D при условии, что произошли событие A, B и C:

P(D | ABC) = 16 .

Таким образом, подставляя найденные вероятности, получим вероятность искомого события F – появилось слово «МОНО»

Второй способ (используя элементы комбинаторики). Рассмотрим событие F – появилось слово «МОНО». Вероятность события F найдем, используя классическое опре-

деление вероятности

P(F ) = mn ,

где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события F.

Общее число равновозможных элементарных исходов испытания является размещение без повторений из 9 объектов по 4 объекта, то есть

n = A94 = 9 8 7 6 = 3024

Так как в слове «МОНО» повторяется буква «О» два раза, то возможны перестановки, при которых слово не изменяется, то есть

37

число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события F, определим по формуле:

m = 2!= 2

Таким образом, искомая вероятность равна

P(F )= 30242 = 15121 ≈ 0,00066 .

Ответ: искомая вероятность P(F ) = 0,00066 .

Следствием основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая

формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий:

H1 , H 2 ,K, H n ,

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Сумма вероятностей гипотез Hi

должна быть равна единице, то есть

38

т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы H 1 , H 2 ,K, H n образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

A = AH 1 + AH 2 +K+ AH n /.

Так как гипотезы H 1 , H 2 ,K, H n несовместны, то и комби-

нации AH1 , AH 2 ,K, AH n также несовместны; применяя к ним теорему сложения (3.2), получим:

P(A)= P(AH1 )+ P(AH 2 )+ K + P(AH n ).

Применяя к событию AH 1 , AH 2 ,K, AH n теорему умножения зависимых событий, получим:

n

P(A)= ∑P(H i ) P(A | H i ),

i =1

что и требовалось доказать.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Байеса.

Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности и известно, что событие A уже наступило, т.е. произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? То есть, необ-

39

ходимо вычислить условную вероятность того, что вместе с собы-

тием A осуществилась гипотеза H i по формуле Байеса:

где P(A) – полная вероятность события A.

С помощью формулы Байеса можно после испытания уточ-

нить вероятность происхождения гипотезы H i .

Задание № 4 связано с применением формулы полной вероятности.

Задание 4

В магазин поступили три партии ламп, насчитывающих соответственно 20, 30 и 50 штук. Вероятности того, что лампа проработает заданное время, равна соответственно для этих партий 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная лампа из этих партий проработает заданное время?

Решение. Испытание состоит в том, что наудачу извлекается одна лампочка из 100 (20+30+50=100) имеющихся ламп.

Рассмотрим событие F – извлеченная лампа проработает заданное время.

Рассмотрим гипотезы:

событие Н1 – наудачу выбранная лампа принадлежит первой партии;

событие Н 2 – наудачу выбранная лампа принадлежит второй партии;

40