Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Задание 2

В урне содержится 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара; б) меньше, чем 2. белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение. В данной задаче испытанием является случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания (2.3) по 4 (число вынутых случайным образом из урны шаров) из 11 шаров (5 черных + 6 белых = 11 шаров, имеющихся в урне). Их число можно определить по формуле числа сочетаний из n по k:

C k = n! , n k ! (n − k)!

где k ≤ n .

В нашем случае n =11, k = 4 . Тогда общее число исходов

Решение: а) Рассмотрим событие А – среди четырех вынутых шаров 2 белых, то есть среди вынутых четырех шаров 2 белых и 2 черных.

Вероятность события А вычислим с помощью классического определения вероятности

26

P( A) = mn ,

где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания (в нашем случае n = 330 ); m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A.

В нашем случае требуется выбрать из 6 белых шаров 2 шара и из 5 черных шаров еще 2 шара. Из 6 шаров выбрать 2 шара можно

C62 способами, из 5 шаров выбрать 2 шара можно C52 способами. Тогда число способов, благоприятствующих событию A, определяется следующим выражением:

В результате получаем:

P( A) = 150330 = 0,454.

Таким образом, искомая вероятность равна 0,454.

Решение: б) Рассмотрим событие B – среди четырех вынутых шаров меньше чем 2 белых, то есть среди вынутых шаров или ни одного белого шара, а все четыре черные, или среди них один белый, а остальные три черные. Таким образом, событие B состоит из двух несовместных событий:

B1 – среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,

B2 – среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные, то есть

B = B1 + B2 .

27

Так как события B1 , B2 несовместны, то есть при осуществлении одного из событий другое произойти не может, то для нахождения вероятности события B можно воспользоваться или теоремой сложения для несовместных событий, или классическим определением вероятности, используя правило сложения.

Проиллюстрируем оба метода.

Первый способ. Используем теорему сложения для несовместных событий, то есть если события А и B несовместные, то вероятность суммы этих событий A + B определяется формулой (3.1):

P( A + B) = P( A) + P(B) .

В нашем случае имеем: события B1 , B2 несовместны, тогда

P(B1 + B2 ) = P(B1 ) + P(B2 ) .

Вероятности событий P(B1 ) и P(B2 ) определим, используя классическое определение вероятностей.

лении m1 использовали правило умножения, т.к. нам необходимо было определить число способов, которым можно выбрать из 6 белых один шар и из 5 черных 3 шара, и свойство числа сочетаний

Ckm = Ckk −m ).

Тогда

P(B1 ) = 33060 = 112 ≈ 0,182 .

28

Для события B2 имеем

m P(B2 ) = n2 ,

где n = 330 , m2 = C60 C54 = C60 C55−4 = C60 C51 =1 5 = 5 (при вычис-

лении m2 использовали правило умножения, т.к. нам необходимо было определить число способов, которым можно выбрать из 6 белых ноль шаров и из 5 черных 4 шара).

Тогда

P(B2 ) = 3305 = 661 ≈ 0,015 .

В результате получим:

P(B1 + B2 ) = P(B1) + P(B2 ) = 0,182 + 0,015 = 0,197

Таким образом, искомая вероятность равна 0,197.

Второй способ. Для определения вероятности события B воспользуемся классическим определением вероятности

P(B) = mn ,

где n = 330 ; а m можно определить, используя правило сложения, которое состоит в следующем: если объект A может быть выбран

m1 способами, а объект B – m2 способами, причем выборы объектов A и B несовместны (взаимно исключают друг друга), то выбор «либо A либо B» может быть осуществлен m1 + m2 способами.

29

Таким образом, число исходов, благоприятствующих наступлению события B, является суммой m1 и m2 , где m1 и m2 определим, используя правило умножения (правило умножения сформулировано в решении задачи 2 (а)).

m= m1 + m2 = C61 C53 + C60 C54 = 60 + 5 = 65 .

Врезультате получим:

P(B) = 33065 = 0,197 .

Таким образом, искомая вероятность равна 0,197.

Решение: в) Рассмотрим событие С – среди четырех вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (событие С1 ), 2 бе-

лых и 2 черных (событие С 2 ), 3 белых и 1 черный (событие С3 ), 4 белых и ни одного черного (событие С4 ). Тогда

C = C1 + C2 + C3 + C4 .

Здесь событие C определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным (громоздким) вычислениям. В таких задачах удобнее вначале рассмотреть противопо-

ложное событие C и найти его вероятность пользоваться формулой (3.5)

P(C) = 1 − P(C) .

30