Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Тема 3 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для дальнейшего решения задач контрольной работы ознакомимся с основными теоремами теории вероятностей.

Основными теоремами теории вероятностей являются две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. Строго говоря, оба эти положения являются теоремами и могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, они принимаются аксиоматически, как принципы или постулаты. Перед тем как формулировать и доказывать основные теоремы, введем некоторые вспомогательные понятия, а именно понятия о сумме событий и

произведении событий.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.

Например, если событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие В – попадание в цель при втором выстреле, то событие С=А+В есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события А и В несовместны, то естественно, что появление обоих этих событий вместе отпадает, и сумма событий А и В сводится к появлению или события А, или события В. Например, если событие А – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой мас-

21

ти, то С=А+В есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С,

состоящее в совместном выполнении события А и события В. Например, если событие А – появление туза при вынимании

карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то событие С=АВ есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие А – попадание при первом выстреле, событие В – попадание при втором выстреле, то С = АВ есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий называется событие,

состоящее в совместном появлении всех этих событий.

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

Например, пусть по мишени производится три выстрела и рассматриваются следующие элементарные события: А1 – попада-

ние при первом выстреле, А1 – промах при первом выстреле, А2 –

попадание при втором выстреле, А2 – промах при втором, выстре-

ле, А3 – попадание при третьем выстреле, А3 – промах при третьем выстреле.

Рассмотрим более сложное событие В, состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие В можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий:

В = А1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

22

Событие С, состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:

C = А1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

Теорема сложения вероятностей. Вероятность сум-

мы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих

Следствие 1. Если события А1 , A2 ,K , An образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

ную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

P(А1 + A2 + K + An ) = 1 .

23

Так как А1 , A2 ,K , An – несовместные события, то к ним при-

n

куда ∑ P(Ai )= 1 что и требовалось доказать.

i=1

Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о «противоположных событиях».

Противоположными событиями называются два несовмест-

ных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать А . Примеры противоположных событий.

1)А – попадание при выстреле, А – промах при выстреле;

2)В– выпадение герба при бросании монеты, В – выпадение цифры при бросании монеты;

3)С– безотказная работа всех элементов технической системы,

С– отказ хотя бы одного элемента;

4)D – обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, D – обнаружение не более одного бракованного изделия.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вы-

24

Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события А и В совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле

P(А + В + C )= P(A)+ P(B)+ P(C )− P(AB). − P(BC )− P(AC )+ P(ABC ).

Общая формула для вероятности суммы любого числа совместных событий имеет вид:

где суммы распространяются на различные значения индексов i,j,n, и т.д.

Приведенная формула выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д.

Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно, ясно, что

P(АВ )= P(A)+ P(B)− P(A + B).

Исходя из изложенного теоретического материала перейдем к решению заданий контрольной работы.

25