Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова
С.Н. ОВСЯННИКОВА
КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Учебное пособие
Для студентов 2-го курса экономических специальностей
Первый триместр
ЧАСТЬ 1
Москва
2011
УДК 517.3:517.52 ББК 22.161
О-34
О-34 Овсянникова С.Н. Краткий курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие для сту-
дентов 2-го курса экономических специальностей – М:
Экон-информ, 2011. – 104 с. ISBN 978-5-9506-0711-0
Настоящее учебное пособие содержит разделы, предназначенные для изучения студентами второго курса экономических специальностей, и соответствует рабочей программе.
Пособие написано на базе лекций по теории вероятностей и математической статистики.
При составлении пособия автор ставил себе задачу изложить предмет наиболее просто и наглядно, не связывая себя рамками полной математической строгости. В связи с этим отдельные положения приводятся без доказательства; некоторые положения доказываются не вполне строго. Применяемый математический аппарат, не выходит за рамки курса высшей математики, излагаемого в высших учебных заведениях.
Пособие снабжено большим количеством примеров расчетного характера, в которых применение излагаемых методов иллюстрируется на конкретном практическом материале.
Данное пособие содержит основные разделы теории вероятностей и математической статистики необходимые для освоения курса статистики.
УДК 517.3:517.52 ББК 22.161
ISBN 978-5-9506-0711-0
© Овсянникова С.Н., 2011
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
При научном исследовании различных задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного И того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.
Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению.
Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.
Например, если много раз подряд бросать монету, частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к вполне определенному числу, именно к 1/2. Такое же свойство «устойчивости частот» обнаруживается и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее неопределенным, случайным.
3
Подобные специфические, так называемые «статистически закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с однородных случайных явлений. Закономерности, проявляясь в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным. Именно эта многократно подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений и служит базой для применения вероятностных (статистических) методов исследования. Методы теории вероятностей приспособлены только для исследования массовых случайных явлений, они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.
Характерным для современного этапа развития науки является весьма широкое и плодотворное применение статистических методов во всех областях знания. Это вполне естественно, так как при углубленном изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них.
Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным И строгим, как другие математические науки.
4
Тема 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике – понятия силы, массы, скорости, ускорения и т.д. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие – это значит свести его к другим, более известным.
Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события.
Под «событием» в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Приведем несколько примеров событий:
А – появление герба при бросании монеты; В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты; С – попадание в цель при выстреле;
D–появление туза при вынимании карты из колоды. Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что
каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей, причем для некоторых из этих событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее
5