Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания (в первом столбце по вертикали укажем число очков, которое может появиться на одной кости, в первой строке по горизонтали – число очков, которое может появиться на второй кости, внутри таблицы запишем сумму числа очков на двух костях)

Тогда из таблицы 1 несложно найти общее число равновозможных элементарных исходов испытания: n = 36 (число клеток в таблице 1, имеющих светлую штриховку и не имеющих штриховки); и число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A: m = 10 (число клеток в таблице 1, имеющих светлую штриховку).

В результате получаем:

P( A) = 1036 ≈ 0,278 .

Таким образом, искомая вероятность равна 0,278.

Решение: б) Рассмотрим событие В – произведение числа очков не превосходит 13, т.е. указанное произведение меньше или равно 13.

Вероятность события В вычислим с помощью классического определения вероятности:

P(B) = mn .

11

Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания (в первом столбце по вертикали укажем число очков, которое может появиться на одной кости, а в первой строке по горизонтали – число очков, которое может появиться на второй кости, внутри таблицы запишем произведение числа очков на двух костях)

Из таблицы 2 находим: n = 36 (число клеток в таблице 2, имеющих светлую штриховку и не имеющих штриховки); m = 23 (число клеток в таблице 2, имеющих светлую штриховку).

В результате получаем:

P(B) = 3623 ≈ 0,639 .

Таким образом, искомая вероятность равна 0,639.

Решение: в) Рассмотрим событие С – произведение числа очков делится на 6.

Вероятность события С вычислим с помощью классического определения вероятности:

P(C) = mn .

12

Используя таблицу 2, произведений числа очков, выпавших на двух костях, из задания 1 б), несложно подсчитать число случаев, благоприятствующих наступлению события C. Для удобства рекомендуется таблицу переписать еще раз, отметив в ней исходы, благоприятствующие наступлению события C.

Из таблицы 3 находим: n = 36 (число клеток в таблице 3, имеющих светлую штриховку и не имеющих штриховки); m =15 (число клеток в таблице 3, имеющих светлую штриховку).

В результате получаем

P(C) = 1536 ≈ 0,417 .

Таким образом, искомая вероятность равна 0,417.

Ответ: P( A) ≈ 0,278 ; P(B) ≈ 0,639 ; P(C) ≈ 0,417 .

Числа m и n в формуле вероятности можно определять, ис-

пользуя основные правила и понятия комбинаторики.

13

Тема 2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых требуется найти число всех способов расположения некоторых объектов или число способов выполнения каких-либо действий. Сколько существует различных автомобильных номеров, состоящих из 4 цифр, за которыми следуют 3 буквы? Сколькими способами могут распределиться призовые места на чемпионате мира по футболу? Задачи такого типа называют комбинаторными, а раздел математики, изучающий способы их решения – комбинаторикой.

С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей.

Особую роль играет комбинаторика в классической теории вероятностей, являясь мощным инструментом для подсчёта количества различных исходов испытаний.

К различным соединениям, которые изучает комбинаторика,

относятся перестановки, сочетания, и размещения.

Множество М из п элементов называется упорядоченным, если установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция) между множеством М и множеством {1,2,3,K, n }. Другими словами, множество М является упорядоченным, если его элементы занумерованы в каком-либо определенном порядке.

14

Различные упорядочения множества М из n различных элементов называются перестановками из n элементов (без повторений).

Количество таких перестановок обозначают символом Pn и вычисляют по формуле

Символ n! читается как «n факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n. По определению считается

0! = 1.

ПРИМЕР. Сколькими способами можно расставить на полке в ряд пять различных книг?

По формуле (2.1) числа перестановок имеем Р5 = 120. Следовательно, существует 120 различных комбинаций рас-

становки в ряд на книжной полке пяти различных книг.

Теперь рассмотрим перестановки, составленные из п элементов среди которых есть одинаковые. Пусть дана совокупность из п элементов, в которой n1 , элементов принадлежит к первому типу,

n2 элементов – ко второму типу и так далее до nk элементов k-го типа, причем элементы одного и того же типа неразличимы между

15