Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Таким образом, из определений следует, что различные перестановки любого множества отличаются друг от друга только порядком его элементов (но не элементами).

ПРИМЕР. Сколько различных «слов» можно составить из всех букв" слова УДОБРЕНИЯ, если порядок следования гласных (У,0,Е,И, Я) должен сохраниться?

Так как гласные нельзя переставлять между собой, то их можно считать неразличимыми или одинаковыми. Тогда задача сводится к определению числа перестановок из 9 букв с повторениями

(2.2), что дает:

Сочетанием называется набор элементов, рассматриваемых без учета порядка их следования. Пусть рассматривается множество из п элементов. Сочетанием из п элементов по k называется его произвольное неупорядоченное подмножество, содержащее k элементов.

Итак, сочетанием называется k-элементное подмножество множества М из п различных элементов, короче, просто сочетани-

ем из п по k (k < п).

Количество таких сочетаний обозначают символом Cnk (читается: це из эн по ка) и вычисляют по формуле

где Cnk – число сочетаний из п элементов по k.

16

Замечания 1. Сочетание из п по k иногда называют выборкой из п по k, т.к. число способов, которыми можно выбрать k предме-

тов из п, в точности равно Cnk .

2. Cnk часто называют биномиальными коэффициентами,

поскольку

n

(x + y)n = ∑ Cnk xk yn−k k=0

Если множество М содержит элементы п типов по k штук каждого, то k-элементное подмножество множества М называют сочетанием из п по k с повторениями.

~k

Количество таких сочетаний будем обозначать символом Cn ; его можно вычислить по формуле:

Из этих определений следует, что различные сочетания отличаются друг от друга только самими элементами (хотя бы одним), но не порядком элементов.

ПРИМЕР В почтовом отделении продаются открытки 8 типов. Сколькими способами а) можно купить 6 разных открыток? б) можно купить 6 открыток?

а) Так как порядок покупки открыток не существен, т.е. наборы отличаются только самими открытками, то имеем дело с сочетаниями, причем без повторений (ибо покупаются разные открытки).

Тогда искомое количество способов вычисляем по формуле (2.3)

17

б) Вновь порядок открыток не существен, однако открытки могут повторяться, поэтому всякий набор открыток представляет собой сочетание с повторениями (2.4) из 8 по 6. Искомое число

Рассмотрим теперь случай, когда перестановка образуется не из всего множества объектов, а только из его части. Упорядоченное k-элементное подмножество множества М из n, различных элементов называется размещением из п. по k (без повторений). Количе-

ство таких размещении обозначается символом Ank и вычисляется по формуле:

ПРИМЕР Студенту необходимо сдать четыре экзамена в течение семи дней. Сколькими способами можно составив расписание экзаменов, если учитывать, что в один день он может сдавать только один экзамен?

Каждый отдельный вариант расписания представляет собой размещение из 7 объектов (дней) по 4. По формуле (2.5) числа размещений вычислим общее число вариантов:

(размещения) из п различных видов элементов по k, причем среди

18

k выбранных элементов некоторые (или все) могут быть одинаковыми. Такие размещения называются размещениями с повторе-

~k

ниями. Обозначим их общее число An . Тогда

Отметим, что в случае размещений с повторениями число элементов k может быть произвольным, т.е. превышать количество видов элементов из которых осуществляется выбор, отметим, что количество элементов одного вида должно быть не меньше k.

ПРИМЕР. Четыре студента сдают экзамен. Сколькими способами им могут быть выставлены положительные оценки?

Каждый из четырех студентов получает одну из трех оценок – 3, 4, 5, причем отметки могут совпадать. Результат экзамена можно представить в виде последовательности из 4-х оценок, каждая из которых взята из множества {3, 4, 5}, причем порядок оценок в последовательности важен (последовательность (4,3,3,5) отличается от последовательности (4,5,3,3)). Таким образом, мы имеем дело с размещениями из 3 по 4 с повторениями (2.6), поэтому число воз-

Выбор с возвращением. Пусть имеется некоторая совокуп-

ность n различных предметов a1, a2 ,K, an , из неё последовательно извлекается r предметов таким образов, что каждый выбранный предмет фиксируется и возвращается обратно. Выборки ai1 , ai 2 ,K, air и aj1, aj 2 ,K, ajr считаются различными, если на ка-

ком-либо шаге выбраны различные предметы, т.е. aik ≠ a jk хотя бы

~ r

при одном k. Тогда число различных выборок равно An .

19

Выбор без возвращения. Пусть из той же совокупности n предметов выбирается r предметов либо одновременно с последующим расположением в определенном порядке, либо последова-

тельно один за другим без возврата. Всего существует Anr различ-

ных выборок ( ai1 , ai2 ,K, air ) по r предметов, выбираемых без возвращения из совокупности объема n.

Пусть n-элементное множество М разбивается на фиксированное число k подмножеств (групп), причем фиксировано и число элементов каждого подмножества (скажем, в подмножестве с номером i ровно ni элементов). Такое выделение подмножеств называют разбиением на группы.

Количество различных разбиений из n элементов по элементов ( n1 + n2 +K+ nk = n ) будем обозначать симво-

лом P(n;n1, n2 ,K, nk ); его можно вычислить по формуле

P(n;n1, n2 ,K, nk ) = n! . n1!n2!Knk !

При классическом подходе к определению вероятности требуется найти общее количество случаев (равновероятных и взаимоисключающих исходов испытания), а также число случаев, благоприятствующих данному событию.

20