Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Решение: б). Построим графики функций f (x) и F (x) , учитывая, что они являются неэлементарными и на разных интервалах ((− ∞;0], (0;2]и (2;+∞)) представляются различными аналитическим выражениями

Решение: в). Найдем математическое ожидание случайной величины X. Так как случайная величина X является непрерывной, то ее математическое ожидание найдем по формуле

M ( X ) = ∞∫ x f (x) dx .

−∞

Применяя формулу найдем

Решение: г). Найдем дисперсию случайной величины X.

D( X ) = M (X 2 )− (M (X ))2 .

При решении в пункте в) было найдено математическое ожи-

дание случайной величины X: M (X ) = 43 . Найдем математическое

ожидание квадрата дискретной случайной величины X. Так как случайная величина X является непрерывной, то математическое ожидание квадрата случайной величины найдем по формуле

M ( X 2 ) = ∞∫ x 2 f (x) dx .

−∞

96

Применяя формулу, найдем

Решение: д). Найдем моду M 0 случайной величины X. Модой называется значение случайной величины, которое встречается чаще всего, то есть для непрерывной случайной величины это есть максимум функции плотности распределения вероятностей. Функция f (x) достигает максимума в точке x = 2 и, следовательно, мода M 0 = 2 .

Решение: е). Найдем медиану M e случайной величины X.

Медианой называет 12 -квантиль. Напомним, что p-квантилем ( x p ) называется корень уравнения F (x) = p , где F (x) – функ-

ция распределения и 0 < p < 1. Учитывая определение функции распределения, можно записать следующее соотношение P(X < M e )= P(X > M e )= 12 , то есть медиана делить область значений случайной величины на две равные по вероятности части.

Медиана будет лежать на интервале (0;2) и ее можно найти из

решения уравнения (на интервале (0;2) имеем F (x) = x2 ): 4

97

x2 1

4= 2

x2 = 2 , x = 2 ≈ ±1,414 .,

Учитывая, что медиана лежит в интервале (0;2) получим

M e = 2 ≈1,414 .

Ответ: а). Функция распределения F (x) имеет вид

б). Искомые графики представлены на рис. – график функции плотности распределения вероятностей f (x) и рис. – график функции распределения F (x) .

в). Математическое ожидание M ( X ) = 43 . г). Дисперсия D( X ) = 92 .

д). Мода M 0 = 2 .

е). Медиана M e = 2 ≈ 1,414 .

98

ЛИТЕРАТУРА

1.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд 4-е, стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 400 с.

2.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 471 с.

3.Красс, М.С. Математика для экономистов/ Красс М.С., Чупрынов Б.П.: Учеб. пособие. – СПб.: Питер, 2008. – 464 с.

4.Красс, М.С. Математика для экономического бакалавриата/ М.С. Красс, Б.П.Чупрынов / Учебник. – М.: Дело, 2005. – 576 с.

5.Вентцель, Е.С. Теория вероятностей. Учеб. Для вузов. – 4-е

изд., стер. – М.: Наука. 1969. – 575 с.

6.Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. Пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин и др. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера–М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 423 с.

7.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.

В2-х ч. Ч.2. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:

Высш. шк., 1986. – 304с.

8.Гмурман В.Е. Теории вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. Изд 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 479 с.

9.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики Ч.3/ Д.Т. Письменный. – 4-е изд. –

М.: Айрис-пресс, 2006. – 256 с.

99

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

100