Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Из этой таблицы можно найти законы распределения каждой из случайных компонент. Например, вероятность того, что случай-

ная величина X примет значение xk , равна, согласно теореме сложения вероятностей независимых событий,

P(X = xk )= p1k + p2 k +K+ pmk , k = 1,2,K,n.

Иными словами, для нахождения вероятности P(xk ) нужно просуммировать все m вероятностей по к-му столбцу. Аналогично получается вероятность того, что случайная величина Y примет возможное значение yr : P(yr )получается суммированием всех n вероятностей r-й строки таблицы ( r = 1,2,K,m.) Отсюда следует, что сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице.

В случае системы двух случайных величин используются кроме математических ожиданий и дисперсий компонентов, составляющих систему, еще и другие числовые характеристики, описывающие их взаимосвязь.

86

Корреляционный момент.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y назы-

вается математическое ожидание произведений их отклонений:

K( X ,Y ) = M [(X − M (X ))(Y − M (Y ))].

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами X и Y . Из свойств математического ожидания формулу для нахождения корреляционного момента можно записать в следующем виде:

K( X ,Y ) = M [XY ]− M [X ]M [Y ].

Для непосредственного вычисления корреляционного момента системы дискретных случайных величин используется формула

K( X ,Y ) = ∑∑n m xi y j pij − M [X ]M [Y ].

i=1 j =1

Корреляционный момент двух независимых случайных X и Y равен нулю.

Если корреляционный момента не равен нулю, то величины X и Y являются зависимыми.

Коэффициент корреляции

Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин X и Y ; например, если X и Y измерены в сантиметрах, то K( X ,Y ) име-

ет размерность см2 .

Это обстоятельство затрудняет сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин. Для устранения этого недостатка вводят безразмерную числовую характеристику –

87

коэффициент корреляции, величина которого не зависит от выбора системы измерения случайных величин.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y на-

зывается отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений

Из определения и свойств математического ожидания и дисперсии следует важный вывод, что абсолютная коэффициента корреляции не превосходит единицы:

r(X,Y ) ≤ 1.

Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля; если же их корреляционный момент равен нулю, то X и Y называются некоррелированными.

Таким образом, две коррелированные случайные являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т.е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Задание 5

Даны законы распределения независимых случайных величин

88

Необходимо:

а) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение 5;

двумя способами: непосредственно и используя свойство математического ожидания M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) ;

г) найти дисперсию случайной величины Z двумя способами: непосредственно и используя свойство дисперсии

D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) .

Решение: a). Так как в условии задачи задан закон распределения (в виде таблицы) дискретной случайной величины X, то имеет место следующее равенство

n

∑ pi = 1.

i=1

В нашем случае имеем

P( X = 5) + P( X = 6) = 1.

Тогда

P( X = 5) + 0,6 = 1

P( X = 5) =1 − 0,6 = 0,4

Таким образом, закон распределения случайной величины X

89

Решение: б). Для составления закона распределения случайной величины Z = X +Y необходимо перечислить все возможные значения случайной величины Z , которые легко получить составив таблицу суммы случайных величин X и Y.

Таким образом, случайная величина Z принимает три различных значения: 12, 13 и 14. Соответствующие вероятности вычислим используя теоремы сложения и умножения для случайных событий, рассмотренные в [8] и таблицу 1, составленную выше.

P(Z =12) = P( X = 5) P(Y = 7) = 0,4 0,8 = 0,32

Событие, состоящие в том, что случайная величина Z примет значение равное 12 (Z =12) наступит в том случае, если случайная

величина X примет значение равное 5 ( X = 5) и случайная величина Y примет значение равное 7 (Y = 7) .

Для нахождения соответствующей вероятности P(Z = 12) воспользуемся теоремой умножения для независимых событий, так как указанные выше события являются независимыми, в силу независимости самих случайных величин.

Аналогично вычисляем вероятности того, что случайная величина Z примет значения 13 и 14.

P(Z =13) = P( X = 6) P(Y = 7) + P( X = 5) P(Y = 8) = = 0,6 0,8 + 0,4 0,2 = 0,48 + 0,08 = 0,56

При вычислении вероятности P(Z = 13) воспользовались теоремой сложения для двух несовместных событий и теоремой умножения для независимых событий).

90