Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова
следующие значения: x1 = 0,x2 = 1,x3 = 2,x4 = 3 . По условию имеем p1 = p2 = p3 = 0,2 – вероятность попасть при каждом выстреле и соответственно q1 = q2 = q3 = 0,8 – вероятность промахнуться при каждом выстреле.
Для составления закона распределения случайной величины X найдем вероятности того, что случайная величина X примет соответствующие значения. Заметим, что решение задачи о нахождении вероятности события (X = 0), то есть P( X = 0) , как впрочем и решение задач о нахождении следующих вероятностей P( X = 1) , P( X = 2) , P( X = 3) , эквивалентно решению задачи № 3.
В данной задаче можно заметить, что испытания проводятся по схеме Бернулли. Действительно, число испытаний конечно. Каждое испытание является независимым. В каждом испытании наблюдается либо «успех» (попал в цель), либо «неуспех» (не попал в цель или промахнулся). Вероятность удачи в каждом испытании постоянна. Так как испытания проводятся по схеме Бернулли, то можно утверждать что случайная величина X имеет биномиальное распределение и соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
pk = Pn ( X = k ) = Cnk p k q n−k
Найдем соответствующие вероятности для данного примера:
|
|
p |
0 |
= P ( X = 0) = C 0 |
0,20 |
0,83−0 = 0,83 = 0,512 , |
||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
p = P ( X =1) = C1 |
0,21 0,83−1 |
= 3 0,2 0,82 = 0,384, |
||||||||
|
|
1 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
p |
2 |
= P ( X = 2) = C 2 |
0,22 0,83−2 |
= 3 0,22 0,8 = 0,096 , |
||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
3 |
= P ( X = 3) = C 3 |
0,23 |
0,83−3 = 0,23 = 0,008 . |
||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
||
81
Тогда искомый закон распределения примет вид
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
p |
0,512 |
0,384 |
0,096 |
0,008 |
Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:
3
∑ pi = 0,512 + 0,384 + 0,096 + 0,008 = 1
i =0
Пример нахождения функции распределения F(x) случайной величины X, ее среднего значения (математического ожидания M(X)), дисперсии D(X) и моды M 0 рассмотрен в задании 4 [пример 3].
Заметим, что в случае биномиального распределения математическое ожидание и дисперсию легко посчитать используя следующие формулы: математическое ожидание M ( X ) = np = 3 0,2 = 0,6 ; дис-
персия D( X ) = npq = 3 0,2 0,8 = 0,48.
Задание 4 [пример 3]
Пусть закон распределения случайной величины X, полученный при решении задач 4, задан следующим рядом распределения.
X |
3 |
5 |
7 |
11 |
p |
0,14 |
0,20 |
0,49 |
0,17 |
Найти функцию распределения F(x) случайной величины X. Найти для случайной величины X математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднеквадратическое отклонение σ ( X ) и
моду M 0 .
82
Решение: а).
В нашем примере функция распределения:
0, |
|
|
x ≤ 3, |
0,14, |
|
3 < x ≤ 5, |
|
|
|
|
|
|
+ 0,20, |
5 < x ≤ 7, |
|
F (x) = 0,14 |
|||
0,14 |
+ 0,20 |
+ 0,49, |
7 < x ≤11, |
|
|
|
|
|
+ 0,20 |
+ 0,49 + 0,17, x >11. |
|
0,14 |
|||
Таким образом, функция распределения примет вид
0, |
x ≤ 3, |
0,14, |
3 < x ≤ 5, |
|
|
|
5 < x ≤ 7, |
F (x) = 0,34, |
|
0,83, |
7 < x ≤11, |
|
|
|
x >11. |
1, |
Решение: б). Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины X найдем по формуле
M (X )= ∑n xi pi .
i=1
Тогда математическое ожидание
M (X ) = 3 0,14 + 5 0,20 + 7 0,49 +11 0,17 = 6,72 .
Решение: в). Дисперсию дискретной случайной величины X найдем по формуле
D(X ) = M (X 2 )− (M (X ))2
83
где математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины X
M (X 2 )= ∑n xi2 pi .
i=1
Найдем
M (X 2 )= 32 0,14 + 52 0,20 + 7 2 0,49 +112 0,17 = 50,84 .
Тогда дисперсия
D(X ) = 50,84 − 6,722 = 5,6816
Решение: г). Среднеквадратическое отклонение
σ ( X ) = D(X ) = 
5,6816 ≈ 2,38 .
Решение: д). Моду M0 найдем по максимальной вероятности в ряде распределения:
M 0 = 7 .
Ответ: а) функция распределения
0, |
x ≤ 3, |
0,14, |
3 < x ≤ 5, |
|
|
|
5 < x ≤ 7, |
F (x) = 0,34, |
|
0,83, |
7 < x ≤11, |
|
|
|
x >11. |
1, |
84
б) математическое ожидание M (X ) = 6,72 ; в) дисперсия D(X ) = 5,6816;
г) среднеквадратическое отклонение σ ( X ) ≈ 2,38 ; д) мода M 0 = 7 .
5.3. Система двух случайных величин
До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые называют одномерными: их возможные значения определялись одним числом. Кроме одномерных величин рассматривают также величины, возможные значения которых определяются несколькими числами. Двумерную случайную величину обозначают через (X, Y); каждая из величин X и Y называется компонентой (составляющей). Обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Например, при штамповке пластинок их длина и ширина представляют собой двумерную случайную величину.
Определение. Законом распределения двумерной случайной ( X ,Y ) называют множество возможных пар чисел (xi , y j ) их веро-
ятностей p(xi , y j ). Двумерную случайную можно трактовать как случайную точку A( X ,Y ) на координатной плоскости.
Закон распределения двумерной случайной величины обычно задается в виде таблицы, в строках которой указаны возможные значения xi случайной величины Х , а в столбцах – возможные зна-
чения yi случайной величины Y, на пересечениях столбцов указа-
ны соответствующие вероятности pij . Пусть случайная величина X может принимать n значений, а случайная величина Y – m значений. Тогда закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид
85