Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Для измерения степени разброса значений случайной величины относительно математического ожидания используют специальные характеристики – дисперсию и среднее квадратическое отклонение, которое еще называют стандартным отклонением.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения X от ее математического ожидания.
Введем специальное обозначение σ 2 [X ] дисперсии случайной величины X (иногда дисперсию обозначают D[X ]).
Согласно определению
D[X ]= M[(X - M[X])2 ]. |
(5.3) |
Можно показать, что для непосредственного вычисления дисперсии дискретной случайной величины X с конечным числом значений формула (5.3) преобразуется к виду
D[X ]= ∑n (xi − M [X ])2 pi . |
(5.4) |
i=1 |
|
Когда дискретная случайная величина X имеет бесконечное счетное число значений, дисперсия вычисляется как сумма ряда
D[X ]= ∑∞ (xi − M [X ])2 pi . |
(5.5) |
i=1 |
|
Случайная величина X будет иметь конечную дисперсию, если ряд (5.5) сходится.
Формулу (5.4) можно записать в более удобном для вычислений виде:
D[X ]= ∑n (xi )2 pi − M 2 [X ] |
(5.6) |
i=1 |
|
76
Для непрерывной случайной величины X дисперсия, выражается уже не суммой, а интегралом
D[X ]= +∞∫(x − M [X ])2 f (x)dx, |
(5.7) |
−∞
или в более удобном для вычислений виде:
+∞ |
2 |
|
D[X ]= ∫ |
f (x)x dx − |
|
−∞ |
|
|
+∞ |
|
2 |
|
|
|
||
∫ xf (x)dx . |
(5.8) |
||
−∞ |
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение, или стандартное от-
клонение, случайной величины X вычисляется как корень квадратный из дисперсии и имеет соответственно обозначение σ[X ]:
σ [X ]= D[X ]. |
(5.9) |
Для практического анализа стандартное отклонение более удобная характеристика, чем дисперсия. Это связано с тем, что величина σ[X ] выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины X, в то время как размерность дисперсии D[X ] представляет собой значение X в квадрате. Ясно, что разброс значений относительно математического ожидания удобнее интерпретировать в масштабе изменения значений самой случайной величины X.
Рассмотрим основные свойства дисперсии дискретной случайной величины.
1. Дисперсия постоянной величины С равно нулю.
D[C]= 0 .
По определению D(C) = M [C − M (C )]2 = M [C − C]= 0 .
77
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии случайной величины X., возведя его в квадрат.
D(CX ) = C2 D[X ].
3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа п случайных величин X1 , X 2 ,K, X n равно алгебраической сумме их дисперсий.
D[X1 + X 2 + K + X n ]= D[X1 ]+ D[X 2 ]+ K + D[X n ].
Замечание. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий.
D[X 1 − X 2 ]= D[X 1 + (− X 2 )]= D[X 1 ]+ D[(−1) X 2 |
]= |
= D[X 1 ]+ (−1)2 D[X 2 ]= D[X 1 ]+ D[X 2 ]. |
. |
Задание № 4 и № 5 связано со случайными величинами дискретного типа и их числовыми характеристиками.
Задание 4 [пример 1]
Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения числа работ, оцененных на «отлично» (случайная величина X) среди отобранных. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Найти для X ее среднее значение (математическое ожидание M(X)), дисперсию D(X) и моду M 0 .
Решение: Пусть случайная величина X – число работ, оцененных на «отлично». Так как из 25 контрольных работ 5 оценены
78
на отлично и выбирается из них 3 работы, то случайная величина X может принимать следующие значения: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3.
Найдем вероятности того, что случайная величина X примет соответствующие значения. Заметим, что решение задачи о нахождении вероятности события (X = 0), то есть P( X = 0) , как впрочем и решение задач о нахождении следующих вероятностей P( X =1) , P( X = 2) , P( X = 3) , эквивалентно решению задачи № 2 (а) из контрольной работы № 8. Поэтому приведем только соответствующие вычисления без объяснений.
Предварительно вычислим число сочетаний из 25 по 3 (число способов которыми можно из 25 контрольных работ извлечь 3)
|
С253 = |
|
25! |
|
|
|
|
= |
25 24 23 |
|
= 2300 . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
3! (25 − 3)! |
|
1 2 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p = P( X = 0) = |
C50 C203 |
|
= |
1 1140 |
= |
114 |
|
≈ 0,496 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
C253 |
|
|
|
2300 |
|
|
230 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p2 |
= P( X =1) = |
C51 C202 |
|
= |
|
5 190 |
|
= |
950 |
|
|
= |
|
95 |
|
|
≈ 0,413 . |
|||||||||||||||
|
C253 |
2300 |
|
2300 |
|
230 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
p3 |
= P( X = 2) = |
|
C52 C201 |
= |
|
10 20 |
= |
200 |
|
= |
|
20 |
|
≈ 0,087 . |
||||||||||||||||||
|
C253 |
|
|
|
2300 |
|
2300 |
|
|
230 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
p4 = P( X = 3) = |
C53 C200 |
|
= |
|
|
10 1 |
|
= |
10 |
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
≈ 0,004 . |
|||||||||||||
|
C253 |
|
|
|
2300 |
|
2300 |
|
230 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда искомый закон распределения примет вид
79
X |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
||||
p |
|
114 |
|
|
95 |
|
|
20 |
|
|
1 |
|
230 |
|
230 |
|
230 |
|
230 |
||||
Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:
∑ pi |
= 114 + 95 + 20 + |
1 |
= 230 |
=1. |
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
230 230 230 |
|
230 |
230 |
|
||||||
Пример нахождения функции распределения F(x) случайной величины X, ее среднего значения (математического ожидания M(X)), дисперсии D(X) и моды M 0 рассмотрен в задании 4.
Замечание. Указанную задачу можно было решить, заметив, что случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n = 25, s = 5, k = 3, m = 0,1, 2,3. Поэтому соответствующие вероятности можно было найти по формуле
( = )= C m C k −m
Pn X m s Cnk n−s .
Задание 4 [пример 2]
Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Найти для X ее среднее значение (математическое ожидание M(X)), дисперсию D(X) и моду M 0 .
Решение: Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при трех выстрелах. Случайная величина X может принимать
80