Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Общая схема решения задач на построение законов распределения:

1) введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь в задаче;

2) описание множества ее возможных значений x1 , x2 ,K, xi ,K, xn .

3) рассмотрение выполнения каждого из равенств X = xi как случайного события;

4)вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;

5)проверка правильности составленного распределения с по-

мощью равенства ∑ pi = 1.

В некоторых случаях распределение дискретной случайной величины может приводить к бесконечным последовательностям.

Мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «несчетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величин невозможно.

Кроме того, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «рас-

66

пределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X = x , а вероятностью события X < x , где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, есть некоторая функция от х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(х):

F (x) = P(X < x).

Функцию распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция

своего аргумента, т.е. при x2 > x1 F(x2 )≥ F (x1 ).

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

F(− ∞)= 0 .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

F(+ ∞)=1.

Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины.

67

Функцию распределения F (x) дискретной случайной величины X найдем по формуле

F (x) = x∑i <x pi ,

которая может быть записана в виде

где закон распределения случайной величины X задан в виде таблицы:

Когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины X, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Сумма всех скачков функции F (x) равна единице.

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше: ступенчатая кривая

68

становится более плавной, случайная величина приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции.

На практике функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках.

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F (x). Тогда, функция f (x)= F / (x) – производная функции распределения – характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения непрерывной случайной величины X . Плотность распределения, так же как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

f (x)≥ 0 .

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F(x) есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

+∞∫ f (x)dx = 1

69

5.2. Числовые характеристики случайных величин

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины: например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего, и т.д. Пользуясь такими характеристиками, мы хотим все существенные сведения относительно случайной величины, которыми мы располагаем, выразить наиболее компактно с помощью минимального числа числовых параметров. Такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

В теории вероятностей числовые характеристики и операции с ними играют огромную роль. С помощью числовых характеристик существенно облегчается решение многих вероятностных задач. Очень часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство, что когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый нормальный закон распределения). В этих случаях по су-

70