Материал: Краткий курс Теории вероятностей и математической статистики, Овсянникова

Решение: a) Дано: n = 700 , p = 0,35 , k = 270 . Найти вероятность P700 (270) .

Так как количество испытаний n = 700 – велико, а вероятность p = 0,35 не очень мала, причем npq = 159,25 > 10 , то воспользуемся локальной формулой Муавра – Лапласа (9)

≈ ϕ(x)

Pn (k) npq ,

где x = k − np . npq

Подставляя исходные данные, получим

Значение функции ϕ( x ) найдем по таблице приложения 1

ϕ(x) = ϕ(1,98) = 0,0562 .

Тогда искомая вероятность

Решение: б) Дано: n = 700 , p = 0,35 , a = 230 и b = 270 . Най-

ти вероятность P700 (230 < k < 270) . Для нахождения указанной вероятности можно было бы воспользоваться формулой (4.3)

56

k

Pn (k1 ≤ k ≤ k2 )= Pn (k1 )+ Pn (k1 +1)+K+ Pn (k2 )= ∑=2 Pn (k),

k k1

но так как количество испытаний n = 700 – велико и число слагаемых в формуле (4.3) так же достаточно велико (38 слагаемых), а вероятность p = 0,35 не очень мала, причем npq = 159,25 > 10 , то согласно замечанию 7 для нахождения искомой вероятности

P700 ( 230 < k < 270 ) = P700 ( 231 ≤ k ≤ 269 )

воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа (4.10)

Подставляя исходные данные, найдем

Значение функции Φ(x) определим по таблице приложения 2

Φ(x1 ) = Φ(−1,11) = −Φ(1,11) = −0,3665,

Φ(x2 ) = Φ(1,90) = 0,4713.

57

Тогда искомая вероятность

P700 (230 < k < 270) = Φ(1,90) − Φ(−1,11) ≈ 0,4713 − (−0,3665) = = 0,4713 + 0,3665 = 0,8378.

Решение: в) Дано: n = 700 , p = 0,35 , a = 270 и b = 700 . Най-

ти вероятность P700 (k > 270) .

Для нахождения указанной вероятности можно было бы воспользоваться формулой (4.6), являющейся следствием формулы

(4.3)

Pn (k > k1 )= Pn (k1 +1 ≤ k ≤ n)= Pn (k1 +1)+ Pn (k1 +2)+K+ Pn (n),

но так как количество испытаний n = 700 – велико и число слагаемых в формуле (4.6) так же достаточно велико (429 слагаемых), а вероятность p = 0,35 не очень мала, причем npq = 159,25 > 10 , то согласно замечанию 7 (в котором сказано не только об условиях применения формулы (4.3), но и об условиях применения следствий из формулы (4.3), то есть формул (4.5) – (4.8)) для нахождения искомой вероятности

P700 (k > 270) = P700 (270 < k ≤ 700) = P700 (271 ≤ k ≤ 700)

воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа (4.10)

Подставляя исходные данные, найдем

58

npq ≈ 12,6 ,

Значение функции Φ( x ) определим по таблице приложения 2

Φ(x1 ) = Φ(2,06) = 0,4803 ,

Φ(x2 ) = Φ(36,1) = 0,5.

Тогда искомая вероятность

P700 (k > 270) = P700 (270 < k ≤ 700) = Φ(36,1) − Φ(2,06) ≈ ≈ 0,5 − 0,4803 = 0,0197.

Ответ: а) P700 (270) ≈ 0,0045 ;

б) P700 (230 < k < 270) = 0,8378 ;

в) P700 (k > 270) = 0,0197 .

Задание 3

Телефонный коммутатор обслуживает 2000 абонентов. Для каждого абонента вероятность позвонить в течение часа равна 0,0025. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят на коммутатор:

а) три абонента; б) не менее четырех абонентов.

59

Решение: Так как количество испытаний n = 2000 > 20 – велико, а вероятность p = 0,0025 очень мала, причем

λ = np = 2000 0,0025 = 5 <10 ,

то для нахождения искомых вероятностей можно использовать формулу Пуассона (4.11)

Pn (k) ≈ λk e−λ = Pk (λ). k !

Решение: a) Дано: n = 2000 , p = 0,0025 , k = 3 . Найти вероят-

ность P2000 (3) .

Так как количество испытаний n = 2000 – велико, а вероятность p = 0,0025 очень мала, причем λ = np = 5 <10 , то воспользуемся формулой Пуассона (4.11).

Подставим исходные данные в формулу (4.11) и, используя таблицу значений функции Пуассона приложения 3, найдем искомую вероятность при k = 3 и λ = 5 :

P2000 (3) ≈ 53 e−5 = P3 (5)≈ 0,1404 .

3!

Решение: б) Рассмотрим событие F – в течение часа позвонят на коммутатор не менее четырех абонентов. По условию имеем: n = 2000 , p = 0,0025 , k1 = 4 .

Найти вероятность P(F ) = P2000 (k ≥ 4) .

Искомую вероятность можно найти, используя формулу (4.7)

Pn (k ≥ k1 )= Pn (k1 ≤ k ≤ n)= Pn (k1 )+ Pn (k1 +1)+K+ Pn (n).

60